高考数学解三角形：正余弦定理专题（四）
题型：已知两边和其中一边的对角。第一部分：题型使用知识点讲解题型使用知识点一：正弦定理。①ab
?；sinAsinBac
?；sinAsinCbc
?。sinBsinC②③题型使用知识点二：特殊角三角函数值。（Ⅰ）单位：的特殊角三角函数值。0
AsinAcosAtanA300123233
4502222160032123120032?12
135022?22?1150012??3233
?3（Ⅱ）单位：rad的特殊角三角函数值。AsinAcosAtanA?6123233
?422221?3321232?332?12
3?422?22?15?612??3233
?3题型使用知识点三：一个角的三角函数与另外两个角和的同名三角函数之间的关系。1关系一：在三角形中一个角的正弦等于另外两个角和的正弦。①sinA?sin(B?C)；②sinB?sin(A?C)；③sinC?sin(A?B)。关系二：在三角形中一个角的余弦等于另外两个角和的余弦的相反数。①cosA??cos(B?C)；②cosB??cos(A?C)；③cosC??cos(A?B)。关系三：在三角形中一个角的正切等于另外两个角和的正切的相反数。①tanA??tan(B?C)；②tanB??tan(A?C)；③tanC??tan(A?B)。题型使用知识点四：三角函数两角和差公式。正弦两角和差：sin(???)?sin?cos??sin?cos?sin(???)?sin?cos??sin?cos?余弦两角和差：cos(???)?cos?cos??sin?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?正切两角和差：tan(???)?
tan??tan?1?tan?tan?tan??tan?1?tan?tan?sin?。cos?钝角正负负tan(???)?
题型使用知识点五：三角函数同角之间的基本关系。①sin??cos??1；②tan??
2
2
题型使用知识点六：三角形内角三角函数正负。AsinAcosAtanA锐角正正正题型使用知识点七：三角形内角的锐钝角判断方法。方法一：自身判断。已知条件已知A
锐角钝角A?(00,900)A?(0,)
22A?(900,1800)A?(,?)
2??已知cosA已知tanA已知sinA
cosA?0tanA?0
cosA?0tanA?0
没有能力判断锐钝角方法二：大边对大角。已知sinA，自身没有能力判断锐钝角，判断其锐钝角的方法：大边对大角。大边对大角的内容：在三角形中，边越大，对角越大。已知三角形的两条边a和b，判断a的对角A的锐钝角方法：（Ⅰ）a?b?A?B?A不是最大角?A是锐角；（Ⅱ）a?b?A?B?A是较大的角?A是锐角或者钝角，需要分类讨论。方法三：钝角占位法。（Ⅰ）钝角未出现时：已知正弦的角是锐角或者钝角，需要分类讨论；（Ⅱ）钝角已经出现时：已知正弦的角是锐角。题型使用知识点八：三角形面积公式。①S?ABC?②S?ABC?③S?ABC?
1
absinC21
acsinB21
bcsinA2第二部分：题型结构和解法剖析题型：在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。（Ⅰ）已知：a边和b边的长度。（Ⅱ）已知：A角。A角的已知方法有四种：①已知A角的大小；②已知sinA的值；③已知cosA的值；④已知tanA的值。解法设计：第一步：计算sinA的值。①已知A角的大小，计算sinA的值。如下表所示：3AsinA3001245022
60032
1200322?332
1350223?422
1500125?612AsinA?6
12?4
22
?3
32
②已知sinA的值，直接进入第二步。③已知cosA的值，计算sinA的值。根据三角函数同角之间的基本关系得到：sinA?cosA?1?sinA?1?cosA，2
2
2
2
无论A角是锐角还是钝角sinA?0?sinA?1?cosA。2
④已知tanA的值，计算sinA的值。根据三角函数同角之间的基本关系得到：tanA?
sinA
?sinA?tanA?cosA，cosAsin2A?cos2A?1?(tanA?cosA)2?cos2A?1?tan2Acos2A?cos2A?1?(tan2A?1)cos2A?1?cos2A?
1
。tan2A?11tanA?12
第一种情况：tanA?0?A是锐角?cosA?0?cosA?
。sinA?tanA?cosA?tanA?
1tanA?12
。第二种情况：tanA?0?A是钝角?cosA?0?cosA??
1tanA?1
2
。sinA?tanA?cosA?tanA?(?
第二步：计算sinB的值。根据正弦定理得到：1tanA?12
)。ab
?，a已知，b已知，sinA第一步已经计算，只有sinB未知sinAsinB
4asinB?bsinA?sinB?
bsinA
。a第三步：计算B的大小，cosB的值，tanB的值。①通过第二步计算的sinB的值计算B角的大小。根据大边对大角判断角B的锐钝角。第一种情况：b?a?B?A?B不是最大角?B是锐角：如下表所示：sinB的值B角的大小：单位0B角的大小：单位rad12300
22450
32600
?6?4?3第二种情况：b?a?B?A?B是最大角?B是锐角或者钝角。分类讨论：（Ⅰ）当B为锐角时：sinB的值B角的大小：单位0B角的大小：单位rad12300
22450
32600
?6?4?3
（Ⅱ）当B为钝角时：sinB的值B角的大小：单位0B角的大小：单位rad1215005?62213503?43212002?3②通过第二步计算的sinB的值计算cosB和tanB的值。根据三角函数同角之间的基本关系得到：sinB?cosB?1?cosB?1?sinB。2
2
2
2
根据大边对大角判断角B的锐钝角。第一种情况：b?a?B?A?B不是最大角?B是锐角?cosB?0?cosB?1?sinB
2
5
高考数学解三角形：正余弦定理专题(四)
