A．804 B．805 C．806 D．807
解析：选C 根据条件得出函数的周期，再确定一个周期上的零点个数即可求解．由函数y＝f(2－x)，y＝f(7＋x)是偶函数得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2和x＝7对称，所以周期为10.又由条件可知函数y＝f(x)在[0,10]上只有两个零点1和3，所以函数y＝f(x)在[－2 013，2 013]上有402个周期，加上2 011,2 013两个零点，所以零点个数是402×2＋2＝806.
7．(A.湖南高考)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax 是偶函数，则a＝________. 解析：函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x
1＋e3x1＋e3x2ax2ax＋1)－ax＝ln(e＋1)＋ax，化简得ln3x，即3x，6x＝2ax＝ln e6x＝e
e＋ee＋e
3x
整理得e＋1＝e
3
答案：－
2
3x2ax＋3x
33x
(e＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
2
8．奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，若f(x)在[0,2]上单调递减，且f(1＋m)＋f(m)＜0，则实数m的取值范围是________．
解析：因为奇函数f(x)在[0,2]上单调递减，所以函数f(x)在[－2，2]上单调递减．由f(1＋m)＋f(m)＜0得f(1＋m)＜－f(m)＝f(－m)，所以由
?
?－2≤1＋m≤2，?1＋m＞－m，
－2≤m≤2，
－2≤m≤2，??－3≤m≤1，得?
1m＞－，?2?
1
所以－＜m≤1，故实数m的取值
2
?1?范围是?－，1?.
?2?
?1?
答案：?－，1?
?2?
9．(A.安徽高考)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2] 上的0≤x≤1，?x1－x
解析式为 f(x)＝?
?sin πx，1 ?29??41? 则f??＋f??＝________. ?4??6? 3??29??41?? 解析：由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f??＋f??＝f?2×4－? 4??4??6??7?3π5??3??7??3??7? 2×4－－－?＝f??＋f??＝－f??－f??＝－＋sin＝. ＋f? 6?16616??4??6??4??6? 答案： 5 16 10．已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值． (1)求实数a的取值范围； (2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式． ?a＋2 解：(1)f(x)＝? ?a－2 x－4，x≥2，x＋4，x＜2， ?a＋2≥0， 要使函数f(x)有最小值，需? ?a－2≤0，即当a∈[－2,2]时，f(x)有最小值． (2)∵g(x)为定义在R上的奇函数， ∴－2≤a≤2， ∴g(－0)＝－g(0)，∴g(0)＝0.设x＞0，则－x＜0. ∴g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4， ?a－2x－4，x＞0， ∴g(x)＝?0，x＝0， ?a－2x＋4，x＜0. 11．(A.宁波模拟)函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增1?? 函数，若f(1)＝0，求不等式fx?x－?<0的解集． 2?? 解：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝0. 又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数， ?1???x－?>0，x??2?1?? 若fx?x－?<0＝f(1)，∴?2??1?? x－?<1，?2??x?? 1?11＋171－17? x－??即0 ?x－?<0，?x??2?1?? fx?x－?<0＝f(－1)，∴?2??1?? x－?x<－1.???2??1?? ∴x?x－?<－1，解得x∈?. 2?? 11＋171－17 ∴原不等式的解集是x 244 12．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)． (1)求证：f(x)是周期函数； 11 (2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 014] 22上的所有x的个数． 解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－(－f(x))＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数． 1 (2)当0≤x≤1时，f(x)＝x， 2设－1≤x≤0，则0≤－x≤1， 11 ∴f(－x)＝(－x)＝－x. 22∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 11 ∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x. 221 故f(x)＝x(－1≤x≤1)． 2又设1＜x＜3，则－1＜x－2＜1， 1 ∴f(x－2)＝(x－2)． 2 又∵f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)， 1 ∴－f(x)＝(x－2)， 2 1 即f(x)＝－(x－2)(1＜x＜3)． 21??2x，－1≤x≤1， ∴f(x)＝? 1??－2x－21＜x＜3.1 由f(x)＝－，解得x＝－1. 2∵f(x)是以4为周期的周期函数， 1 ∴使f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)． 212 015 令0≤4n－1≤2 014，则≤n≤. 44又∵n∈Z，∴1≤n≤503(n∈Z)， 1 ∴在[0,2 014]上共有503个x使f(x)＝－. 2[冲击名校] 1．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R， 都有f(x＋4)＝f(x)；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)；③函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是( ) A．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5) B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5) C．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5) D．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7) 解析：选A 由f(x＋4)＝f(x)可知函数是周期为4的周期函数，函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，则函数y＝f(x)关于x＝2对称，0≤x1＜x2≤2时，有f(x1)＜f(x2)，所以f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)，故f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)． 2．奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，且f(1)＝9，则f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)的值为________． 解析：奇函数f(x)满足f(2＋x)＋f(2－x)＝0，则f(2＋x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝f(2)＋f(3)＋f(4)，令x＝0，则f(2)＝0；令x＝2，则f(4)＝f(0)＝0；由f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－9，故f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝－9. 答案：－9 [高频滚动] 1．已知a＞0，下列函数中，在区间(0，a)上一定是减函数的是 ( ) A．f(x)＝ax＋b B．f(x)＝x2－2ax＋1 C．f(x)＝ax D．f(x)＝logax 解析：选B 依题意得a＞0，因此函数f(x)＝ax＋b在区间(0，a)上是增函数；函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2(注意到其图象的对称轴是直线x＝a，开口方向向上)在区间(0，a)上是减函数；函数f(x)＝ax、f(x)＝logax在区间(0，a)上的单调性不确定(a与1的大小关系不确定)．综上所述，在区间(0，a)上一定是减函数的是f(x)＝x2－2ax＋1. 2．(A.嘉兴模拟)函数y＝(x－2)|x|在[a,2]上的最小值为－1，则实数a的取值范围为________． 解析：y＝(x－2)|x|＝ ? ?0，x＝0， ?－x＋2x，x<0. 2 x2－2x，x>0， 函数的图象如图所示，当x<0时，由－x2＋2x＝－1，得 x＝1－2.借助图形可知1－2≤a≤1. 答案：[1－2，1]
最新高三数学专题复习资料函数的奇偶性与周期性
