且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
(2)(B.重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝( )
A．－5 B．－1 C．3 D．4
(3)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．
[自主解答] (1)由函数f(x＋2)为偶函数可得，f(2＋x)＝f(2－x)． 又f(－x)＝－f(x)，故f(2－x)＝－f(x－2)， 所以f(2＋x)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)．
所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)，故该函数是周期为8的周期函数．
又函数f(x)为奇函数，故f(0)＝0.
所以f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1，故选D. (2)∵f(x)＝ax3＋bsin x＋4，① ∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4， 即f(－x)＝－ax3－bsin x＋4，② ①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③
?1?
?＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， 又∵lg(log210)＝lg?
?lg 2?∴f(lg(log2 10))＝f(－lg(lg 2))＝5， 又由③式知f(－lg(lg 2))＋f(lg(lg 2))＝8， ∴5＋f(lg(lg 2))＝8，∴f(lg(lg 2))＝3.
(3)∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数， ∴函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函数． ∴当a＞0时，由f(a)≥f(2)可得a≥2，
当a＜0时，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2. 所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． [答案] (1)D (2)C (3)(－∞，－2]∪[2，＋∞)
互动探究
若本例(3)中的f(x)为奇函数，求实数a的取值范围．
解：因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在R上为减函数．又f(a)≥f(2)，故a≤2，即实数a的取值范围为(－∞，2]．
方法规律
与函数奇偶性有关的问题及解决方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)已知函数的奇偶性求解析式
将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
1．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
1
A．ex－e－x B.(ex＋e－x)
211
C.(e－x－ex) D.(ex－e－x) 22解析：选D ∵f(x)＋g(x)＝ex，① ∴f(－x)＋g(－x)＝e－x.
又∵f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， ∴f(x)－g(x)＝e－x.② ?f由①②得?
?f
xx
ggxx
ex，e，
－x
1
解得g(x)＝(ex－e－x)．
2
2．(A.杭州模拟)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：选A 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，
解得b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
考点三 函数的周期性 [例3] (A.四川高考)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－
2
?－4x＋2，－1≤x<0，
1,1)时，f(x)＝?
?x，0≤x<1，
?3?
则f??＝________.
?2?
?1??1?
[自主解答] 由已知易得f?－?＝－4×?－?2＋2＝1，又由函数的周期为2，
?2??2??3??1?
可得f??＝f?－?＝1.
?2??2?
[答案] 1 方法规律
函数周期性的判定
判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．
设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝
?ax＋1，－1≤x＜0，?bx＋2，0≤x≤1，?x＋1
________．
?1??3?
其中a，b∈R.若f??＝f??，则a＋3b的值为
?2??2?
?3??1?
??解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f?－?，且?2??2?1
b＋221?1??1?
f(－1)＝f(1)，故f??＝f?－?，所以＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①
12?2??2?
＋12
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝
b＋2
，即b＝－2a.② 2
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10. 答案：－10
考点四 函数性质的综合应用
1．高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题．
2．高考对函数性质综合应用的考查主要有以下几个命题角度： (1)单调性与奇偶性相结合； (2)周期性与奇偶性相结合； (3)单调性、奇偶性与周期性相结合．
[例4] (1)(B.北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
1
A．y＝ B．y＝e－x
xC．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
(2)(A.舟山模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
(3)(A.新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
(4)(C.浙江高考)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]?3?
时，f(x)＝x＋1，则f??＝________.
?2?
1?1?
[自主解答] (1)A中y＝是奇函数，A不正确；B中y＝e－x＝??x是非奇非
x?e?偶函数，B不正确；C中y＝－x2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C正确；D中y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，D不正确．故选C.
(2)∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数， ∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
(3)由题可知，当－2 3?3??1??1?1 (4)f??＝f?－?＝f??＝＋1＝. 2?2??2??2?2 3 [答案] (1)C (2)D (3)(－1,3) (4) 2函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． (3)周期性、奇偶性与单调性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． 1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( ) A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1) 解析：选C f(x)的图象如图． 当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；
最新高三数学专题复习资料函数的奇偶性与周期性
