中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题
题 号 得 分 评卷人 复查人 答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将
正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
aba?b?20， ?10，则的值为（ ）． bcb?c1101121210（A） （B） （C） （D）
21211111122．若实数a，b满足a?ab?b?2?0，则a的取值范围是 （ ）．
21．若
（A）a≤?2 （B）a≥4 （C）a≤?2或 a≥4 （D）?2≤a≤4
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=23，BC=4?22，CD＝42，则AD边的长为（ ）． （A）26
（B）46 （D）2?26
（第3题） 一 1～5 二 6～10 11 12 三 13 14 总 分 （C）4?6
?k?1??k?2?? 4．在一列数x1，x2，x3，……中，已知x1?1，且当k≥2时，x?x?1?4???kk?1???4??4??????（取整符号?a?表示不超过实数a的最大整数，例如?2.6??2，?0.2??0），则x2010等于（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
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5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）．
（A）（2010，2） （B）（2010，?2） （C）（2012，?2） （D）（0，2）
二、填空题
6．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．
（第8题） （第5题） 9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则
（第9题）
AE? ． AD10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若n的最小值n0满足2000?n0?3000，
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则正整数k的最小值为 ．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别
是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： tan?PAD?
12．如图，抛物线y?ax2?bx（a?0）与双曲线y?
（第11题） EF． BCk
相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），x
点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）. （1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点
E的坐标.
13．求满足2p?p?8?m?2m的所有素数p和正整数m.
14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个
数之和都能被33整除？
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2010年全国初中数学竞赛试题及答案
