第三章 微分中值定理与导数的应用
一、要求：
1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；
2、洛必达法则；
3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；
4、简单不等式证明；
5、最值在实际问题中的应用。
二、练习
1. 在区间 [ A.
1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 (
).
2
2
f ( x)
1 x 2
B.
2. 函数 f ( x) A.
C. D.
arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的
f ( x ) | x | f ( x) 1 x f ( x ) x
2 x 1
.
值是 (
1 .
).
4
1
B.
4
1
C.
1 4
D.
4
3. 设函数 f ( x ) 所在的范围是
3. 设函数 f ( x ) 的范围是
( x 1)( x
2)( x 3)
，则方程 f ( x )
0 有
个零点，这些零点
；.
( x 1)( x 2)( x 3)
，则方程 f ( x )
0 有
个零点，这些零点所在
.
ln x
x
4. 函数 f ( x )
2在(0, ) 内的零点的个数为
e
.
5. 曲线 y
xe x 的拐点 ln x
1
x 2
，凹区间
的单调
，凸区间
区间
.
.
6. 函数 y
7. 曲线 f ( x) 8. 计算：
e x
的渐近线为
x 1
.
2
（1） lim
x
1
5 x 4 x
（2） lim (
x
0
1 x
1
x
) （3） lim
x 0
(1 cos x )
x 1
e 1
tan 2 x
x 0
2 1 / 3
（ 4） lim arctan x x ；
x 0
x ln(1 2 x)2
（5） lim (1 x )
x
0
1 ； 1
（6） lim (csc
x
cos x
x) ；
x
1
（ 7） lim x 3 (sin 1
x
1 sin 2 ) ；（ ） lim 2
(tan
x )
2 x
；（ 9） lim
e
；
x
x
8
2 x
2
x
x
2
ln x
9. 证明 2 arctan
x
arcsin
x
1 .
1 x
1
10. 证明方程 x
5
x
1 0 在区间 ( 1, 0) 内有且只有一个实根 .
3
11. 证明多项式 f x
x 3 x
a 在 0,1 上不可能有两个零点 .
2
x
12. 证明：当 0
x
2
时， x
sin x
13.证明：当
x
0 时， 1
x
x 2
arctan x x
3 2
14. 设 f x
y
x
ax
bx
在 x 1 处有极 值 -2 ，试 确定 系数 a , b ，并求
f x 的所有极值点与拐点 .
15. 求内接于椭圆
x2 2
2
a
y 2 b
1 而面积最大的矩形的各边之长 .
16. 由直线 y 0, x 8 及抛物线 y x 2 围成一个曲边三角形 , 在曲边 y x
2
上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线
17. 描绘 (1) y
y 0 及 x 8 所围成的三角形面积最大 .
3 x
2
2 ，(2) y
2 1
的图形 .
( x 1) ( x 1) ( x 1) 2
18. 要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？
19．要造一个长方体无盖蓄水池， 其容积为 500 立方米，底面为正方形。 设底面与四壁所使用材料的单位造价相同， 问底边和高为多少米时， 才能使所用材料费最省？
20. 选做题：若函数 f ( x ) 有 lim f ( x )
0, lim
x
f ( x ) x
1,
x
lim [ f ( x)
x
x] 2, lim
x
f ( x ) x
0, lim f ( x)
x 2
, 并 且当 x
(0 ,1) 时 , f ( x ) 0 ,
否 则
f ( x ) 0 ( x
2 ), 当 x (1 / 2, 2)
时, f ( x ) 0 , 否则 f ( x)
.
0 ( x
0), 则
(1) 函数 f ( x ) 的单调区间 ( 注明增减 ) 是 _______
(2) 函数曲线的凹向和拐点是 _______ .
(3) 当 x _______ 时, 函数取得极大值 _______ . (4) 函数的渐近线有 _______ . (5) 设 f (0 ) 5 / 4, f (1 / 2) 3 / 4 , f (1)
1 / 2, f (
7 / 4) 0 , 试作出 y f ( x) 的描述性图形 .
2
高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)
