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高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)

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第三章 微分中值定理与导数的应用

一、要求:

1、罗尔定理,拉格朗日定理应用;

2、洛必达法则;

3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断,函数图形的描绘;

4、简单不等式证明;

5、最值在实际问题中的应用。

二、练习

1. 在区间 [ A.

1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 (

).

2

2

f ( x)

1 x 2

B.

2. 函数 f ( x) A.

C. D.

arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的

f ( x ) | x | f ( x) 1 x f ( x ) x

2 x 1

.

值是 (

1 .

).

4

1

B.

4

1

C.

1 4

D.

4

3. 设函数 f ( x ) 所在的范围是

3. 设函数 f ( x ) 的范围是

( x 1)( x

2)( x 3)

,则方程 f ( x )

0 有

个零点,这些零点

;.

( x 1)( x 2)( x 3)

,则方程 f ( x )

0 有

个零点,这些零点所在

.

ln x

x

4. 函数 f ( x )

2在(0, ) 内的零点的个数为

e

.

5. 曲线 y

xe x 的拐点 ln x

1

x 2

,凹区间

的单调

,凸区间

区间

.

.

6. 函数 y

7. 曲线 f ( x) 8. 计算:

e x

的渐近线为

x 1

.

2

(1) lim

x

1

5 x 4 x

(2) lim (

x

0

1 x

1

x

) (3) lim

x 0

(1 cos x )

x 1

e 1

tan 2 x

x 0

2 1 / 3

( 4) lim arctan x x ;

x 0

x ln(1 2 x)2

(5) lim (1 x )

x

0

1 ; 1

(6) lim (csc

x

cos x

x) ;

x

1

( 7) lim x 3 (sin 1

x

1 sin 2 ) ;( ) lim 2

(tan

x )

2 x

;( 9) lim

e

x

x

8

2 x

2

x

x

2

ln x

9. 证明 2 arctan

x

arcsin

x

1 .

1 x

1

10. 证明方程 x

5

x

1 0 在区间 ( 1, 0) 内有且只有一个实根 .

3

11. 证明多项式 f x

x 3 x

a 在 0,1 上不可能有两个零点 .

2

x

12. 证明:当 0

x

2

时, x

sin x

13.证明:当

x

0 时, 1

x

x 2

arctan x x

3 2

14. 设 f x

y

x

ax

bx

在 x 1 处有极 值 -2 ,试 确定 系数 a , b ,并求

f x 的所有极值点与拐点 .

15. 求内接于椭圆

x2 2

2

a

y 2 b

1 而面积最大的矩形的各边之长 .

16. 由直线 y 0, x 8 及抛物线 y x 2 围成一个曲边三角形 , 在曲边 y x

2

上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线

17. 描绘 (1) y

y 0 及 x 8 所围成的三角形面积最大 .

3 x

2

2 ,(2) y

2 1

的图形 .

( x 1) ( x 1) ( x 1) 2

18. 要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒,问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省?

19.要造一个长方体无盖蓄水池, 其容积为 500 立方米,底面为正方形。 设底面与四壁所使用材料的单位造价相同, 问底边和高为多少米时, 才能使所用材料费最省?

20. 选做题:若函数 f ( x ) 有 lim f ( x )

0, lim

x

f ( x ) x

1,

x

lim [ f ( x)

x

x] 2, lim

x

f ( x ) x

0, lim f ( x)

x 2

, 并 且当 x

(0 ,1) 时 , f ( x ) 0 ,

否 则

f ( x ) 0 ( x

2 ), 当 x (1 / 2, 2)

时, f ( x ) 0 , 否则 f ( x)

.

0 ( x

0), 则

(1) 函数 f ( x ) 的单调区间 ( 注明增减 ) 是 _______

(2) 函数曲线的凹向和拐点是 _______ .

(3) 当 x _______ 时, 函数取得极大值 _______ . (4) 函数的渐近线有 _______ . (5) 设 f (0 ) 5 / 4, f (1 / 2) 3 / 4 , f (1)

1 / 2, f (

7 / 4) 0 , 试作出 y f ( x) 的描述性图形 .

2

高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、要求:1、罗尔定理,拉格朗日定理应用;2、洛必达法则;3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断,函数图形的描绘;4、简单不等式证明;<
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