任意角的三角函数
【教学目标】
1．理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号。
2．理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等。
【教学重点】
三角函数在各象限内的符号，终边相同的角的同一三角函数值相等。
【教学难点】
正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习引入
1．设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y）
?x2?y2?0
yy2．比值叫做?的正弦 记作： sin??
rrxx比值叫做?的余弦 记作： cos??
rryy比值叫做?的正切 记作： tan??
xx22则P与原点的距离r?x?yP(x,y)r?xx?cot??比值叫做的余切 记作： yyrr?sec??比值叫做的正割 记作： xx比值
rr叫做?的余割 记作： csc?? yy以上六种函数，统称为三角函数。 3．突出探究的几个问题：
①角是“任意角”，当?=2k?+?(k?Z)时，?与?的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用
③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④r?0而x，y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定。 ⑤定义域：
sin??rycsc???|??k?,k?Z? R ?yrcos???xr???|???k?,k?Z? sec?? R ?2rx???y?? ??|???k?,k?Z?
2x??x?|??k?,k?Z? ?ytan??cot??4．注意：
（1）以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合。
（2）OP是角?的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角?是任意的。
（3）sin?是个整体符号，不能认为是“sin”与“?”的积。其余五个符号也是这样。 （4）定义中只说怎样的比值叫做?的什么函数，并没有说?的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与?的终边位置无关。
（5）比值只与角的大小有关。 二、讲解新课：
1． 三角函数在各象限内的符号规律： 第一象限：.x?0,y?0
∴sin??0，cos??0，tan??0，cot??0，sec??0，csc??0 第二象限：.x?0,y?0
∴sin??0，cos??0，tan??0，cot??0，sec??0，csc??0 第三象限：.x?0,y?0
∴sin??0，cos??0，tan??0，cot??0，sec??0，csc??0 第四象限：.x?0,y?0
∴sin??0，cos??0，tan??0，cot??0，sec??0，csc??0 记忆法则：
第一象限全为正，二正三切四余弦。
sin?csc?为正 全正
cos?sec?sin?>0cos?<0tan?<0cot?<0sin?<0cos?<0tan?>0cot?>0sin?>0cos?>0tan?>0cot?>0sin?<0cos?>0tan?<0cot?<0tan?cot?为正 为正
2．终边相同的角的同一三角函数值相等
例如390°和-330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即
sin390°=sin30° cos390°=cos30° sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30° 诱导公式一（其中k?Z）：用弧度制可写成
sin(??k?360?)?sin? sin(??2k?)?sin?
24000xy?-5100cos(??k?360?)?cos? cos(??2k?)?cos? tan(??k?360?)?tan? tan(??2k?)?tan?
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。 三、讲解范例：
例1 确定下列三角函数值的符号
?11?) （1）cos250° （2）sin(?) （3）tan（－672°） （4）tan(43解：（1）∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0
??是第四象限角，∴sin(?)?0 44（3）tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48° （2）∵?而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0
11?5?5??tan(?2?)?tan 3335?11??0。 而是第四象限角，∴tan33
（4） tan?sin??0例2 求证角θ为第三象限角的充分必要条件是?
tan??0?证明：必要性：∵θ是第三象限角，
高中数学必修四教案-1.2.1 任意角的三角函数(7)-人教A版
