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微分方程
列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。 （2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
一、模型的建立与求解
1.1传染病模型
（1）基础模型
假设：t时刻病人人数x(t)连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为?，t?0时有x0个病人。 建模：t到t??t病人人数增加
x(t??t)?x(t)??x(t)?t（1）
dx??x,x(0)?x0（2） dt解得：
x(t)?x0e?t（3）
所以，病人人数会随着t的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI模型
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假设：1.疾病传播时期，总人数N保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触?人，?为日接触率。有效接触后健康者变为病人。
依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*?s(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：
由于
设t=0时刻病人所占的比例为i0，则可建立Logistic模型
di??i(1?i),i(0)?i0（6） dts(t)?i(t)?1（5）
Ndi??Nsi（4） dt解得：
i(t)?1?1?1???1?e?kt?i0?（7）
用Matlab绘制图1i(t)~t，图2
di~i图形如下， dt
结论：在不考虑治愈情况下
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①当i??di??1?1di时达到最大值??，这时tm???1ln??1? 2dt?dt?m?i0?②t??时人类全被感染。未考虑治愈情况。 （3）SIS模型
假设：1.疾病传播时期，总人数N保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触?人，?为日接触率。有效接触后健康者
变为病人。 3.在所有病人中，每天有比例?的人能被治愈，治愈后看作可被感染的
健康者，传染病的平均传染期为
1?。
依据：患病人数的变化率=?Nsi（患病人数的变化率）-?Ni(治愈率） 建模：
Ndi??Nsi??Ni（8） dtdi??i(1?i)??i,?i(0)?i0（9） dt令?为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数，????。 则有
??1??di???i?i??1???（10） dt?????用Matlab绘制出
di
~i（图3，图5）和i~t（图4，图6）。 dt
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数学建模之微分方程建模与平衡点理论
