(2024年整理)概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第七章.doc

学 海 无 涯

过去经验显示，高三学生完成标准考试的时间为一正态变量，其标准差为6min. 若随机样本为20位学生，其标准差为s=4.51, 试在显著性水平α=0.05下，检验假设：

H0:σ≥6,H1:σ<6. 解答：

H0:σ≥6,H1:σ<6. α=0.05,n-1=19,s=4.51,χ0.952(19)=10.117. 拒绝域为W={χ2<10.117}. 计算χ2值

χ2=(20-1)×4.51262≈10.74. 因为10.74>10.117, 故接受H0, 认为σ≥6. 习题9

测定某种溶液中的水分，它的10个测定值给出s=0.037%, 设测定值总体服从正态分布，σ2为总体方差，σ2未知，试在α=0.05水平下检验假设：

H0:σ≥0.04%,H1:σ<0.04%. 解答：

在α=0.05下，拒绝域为

W={(n-1)S2σ02<χ1-α2(9). 查χ2分布表得χ0.952(9)=3.325. 计算得

(n-1)s2σ02=(10-1)×(0.037\\per)2(0.04\\per)2≈7.7006>3.325, 未落入拒绝域，故接受H0.

习题1 制造厂家宣称，线A的平均张力比线B至少强120N, 为证实其说法，在同样情况下测试两种线各50条.线A的平均张力xˉ=867N, 标准差为σ1=62.8N; 而线B的平均张力为yˉ=778N, 标准差为σ2=56.1N. 在α=0.05的显著性水平下，试检验此制造厂家的说法. 解答： H0:μ1-μ2=120,H1:μ1-μ2<120. α=0.05,u0.05=1.645. 拒绝域为 W={u=xˉ-yˉ-120σ12n1+σ22n2<-uα. 由xˉ=867,yˉ=778,n1=n2=50, σ12=(62.8)2,σ22=(56.1)2, 得 u=867-778-120(62.8)250+(56.1)250≈-3111.91≈-2.60. 因为-2.60<-1.645, 故拒绝H0, 认为μ1-μ2<120, 即厂家的说法不对. 习题2 欲知某新血清是否能抑制白血球过多症，选择已患该病的老鼠9只，并将其中5只施予此种血清，另外4只则不然.从实验开始，其存活年限表示如下： 接受血清 2.1,5.3,1.4,4.6,0.9 未接受血清 1.9,0.5,2.8,3.1 假设两总体均服从方差相同的正态分布，试在显著性水平α=0.05下检验此种血清是否有效？ 学 海 无 涯

解答： 设μ1，μ2分别为老鼠接受和未接受血清的平均存活年限。则检验假设H0:μ1-μ2=0,H1:μ1-μ2>0. 属单边检验问题. 对给定的α=0.05, 拒绝域为 W={x1ˉ-x2ˉ-0sw1n1+1n2>tα(n1+n2-2). 由x1ˉ=2.86,x2ˉ=2.075,s1≈1.971,s2≈1.167, 可计算出 sw=(5-1)×(1.971)2+(4-1)×(1.167)25+4-2≈1.674. 查表得t0.005(7)=1.895. 算得 t=2.86-2.075-01.67415+14≈0.699<1.895. 因为0.699<1.895, 故不拒绝H0, 认为此药无效. 习题3 据现在的推测，矮个子的人比高个子的人寿命要长一些.下面给出美国31个自然死亡的总统的寿命，将他们分为矮个子与高个子2类，列表如下： 矮个子总统 85 79 67 90 80 高个子总统 68 53 63 70 88 74 64 66 60 60 78 71 67 90 73 71 77 72 57 78 67 56 63 64 83 65 假设2个寿命总体均服从正态分布且方差相等，试问这些数据是否符合上述推陈出推测(α=0.05)? 解答： 设μ1，μ2分别为矮个子与高个子总统的平均寿命，则检验问题为 H0:μ1≤μ2,H1:μ1>μ2, n1=5,xˉ=80.2,s1≈8.585, n2=26,yˉ≈69.15,s2≈9.315, sw=4×8.5852+9.315229≈9.218, n1n2n1+n2≈2.048, t=(80.2-69.15)9.218×2.048≈2.455, α=0.05,t0.05(29)=1.6991, 因t>t0.05(29)=1.6991, 故拒绝H0, 认为矮个子总统的寿命比高个子总统寿命长. 习题4 在20世纪70年代后期人们发现，酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA).到了20世纪80年代初期，人们开发了一种新的麦芽干燥过程，下面给出了分别在新、老两种过程中形成的NDMA含量(以10亿份中的份数计): 老过程 645565564674 新过程 212210321013 设两样本分别来自正态总体，且两总体的方差相等，但参数均未知. 两样本独立. 分别以μ1,μ2记对应于老、新过程的总体的均值，试检验假设(取α=0.05):

H0:μ1-μ2≤2,H1:μ1-μ2>2. 解答：

检验假设 H0:μ1-μ2≤2,H1:μ1-μ2>2.

设老过程中形成的NDMA含量为X～N(μ1,σ12), 新过程中形成的NDMA含量为Y～N(μ2,σ22).

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已知σ12=σ22=σ2, 但未知，n1=n2=12. 采用t检验法，α=0.05, 算得

xˉ=5.25, yˉ=1.5, s12≈0.9318, s22=1, sw≈0.9828, 拒绝域为 W={xˉ-yˉ-2sw1n1+1n2>tα(n1+n2-2). 查t分布表得t0.05(22)=1.7171, 计算得

5.25-1.5-20.9828×1/2+1/12≈4.3616>1.7171, 故拒绝H0, 认为新、老过程中形成的NDMA平均含量差大于2. 习题5

有两台车床生产同一种型号的滚珠. 根据过去的经验，可以认为这两台车床生产的滚珠的直径都服从正态分布. 现要比较两台车床所生产滚珠的直径的方差，分别抽出8个和9个样品，测得滚珠的直径如下(单位:mm).

甲车床xi:15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8

乙车床yi:15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8 问乙车床产品的方差是否比甲车床的小(α=0.05)? 解答：

以X,Y分别表示甲，乙二车床产品直径.

X～N(μ1,σ12),Y～N(μ2,σ22),

X,Y独立. 检验假设H0:σ12=σ22,H1:σ22<σ22.

用F检验法, 在H0成立时

F=S12S22～F(n1-1,n2-1). 由已知数据算得

xˉ≈15.01,yˉ≈14.99,s12≈0.0955,s22≈0.0261, n1=8,n2=9,α=0.05. 拒绝域为Rα={F>Fα(n1-1,n2-1)}. 查F分布表得F0.05(8-1,9-1)=3.50. 计算F值F=s12/s22=0.0955/0.0261≈3.66.

因为3.66>3.50, 故应否定H0, 即认为乙车床产品的直径的方差比甲车床的小. 习题6

某灯泡厂采用一项新工艺的前后，分别抽取10个灯泡进行寿命试验. 计算得到:采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460小时. 样本标准差为56小时；采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550小时，样本标准差为48小时. 设灯泡的寿命服从正态分布，是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高

(α=0.01)?

解答：

(1)检验假设H0:σ12=σ22, H1:σ12≠σ22.

应选取检验统计量F=S12/S22, 若H0真, 则F～F(m-1,n-1); 对于给定的检验水平α=0.01, 查自由度为(9,9)的F分布表得

F0.005(9,9)=6.54; 已知m=n=10,s1=56,s2=48, 由此得统计量F的观察值为

F=562/482≈1.36;

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因为F-2.55}; 已知m=n=10,xˉ=2460,yˉ=2550,s1=56,s2=48, 由此得统计量T的观测值为T≈-3.86; 因为t<-t0.01(18)=-2.55, 所以拒绝原假设H0′. 而接受备择假设H1′, 即认为采用新工艺后灯泡的平均寿命显著提高. 习题7 随机地选了8个人，分别测量了他们在早晨起床时和晚上就寝时的身高(cm), 得到以下数据: 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 早上(xi) 172 晚上(yi) 172 168 180 181 160 163 165 177 167 177 179 159 161 166 175 设各对数据的差Zi是来自正态总体N(μz,σz2)的样本,μZ,σz2均未知，问是否可以认为早晨的身高比晚上的身高要高(α=0.05)? 解答： 设早、晚身高差Z～N(μz,σz2), 检验假设 H0:μz=0,H1:μz>0, zi=xi-yi=0,1,3,2,1,2,-1,2, n=8,α=0.05, 算得zˉ=1.25,s=1.282. 拒绝域为W={zˉ-0s/n>tα(n-1). 查t分布表得t0.05(7)=1.8946. 计算t值 t=1.251.282/8=2.755>1.8946, 故否定H0, 认为早晨比晚上身高要高. 习题8 用5个含铁物质的样本做实验，以决定化学分析和X光分析对铁含量大小是否有差异. 每个样本分为两个小样本，以两种分析方法做对比实验，得到如下数据: 样本i 1 2 3 4 5 X光分析xi 2.0 2.0 2.3 2.1 2.4 化学分析yi 2.2 1.9 2.5 2.3 2.4 假设两总体均服从正态分布，试在α=0.05的显著性水平下，检验两种分析方法所得的平均值是否相同. 解答：

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用同一块样本一分为二，用两种分析方法做对比试验，其数据之差即反映了两种分析方法的差异. 设差值Z服从正态分布，Z～N(μz,σz2), 其取值为

zi=xi-yi -0.2 若两种方法无差异，则μz=0. 检验假设

0.1 -0.2 -0.2 0 H0:μz=0,H1:μz≠0. 由已知数值算得zˉ=-0.1,sz≈0.141,n=5.

α=0.05, 查t分布表得t0.025(5-1)=2.776, 所以拒绝域为

W={t>2.776或t<-2.776}. 计算t值

t=zˉ-0sz/n=-0.1-00.141/5≈-1.59>-2.776, 故接受H0:μz=0, 即在α=0.05下，认为两种分析方法所得的均值结果相同.

7.4 关于一般总体数学期望的假设检验

习题1

设两总体X,Y分别服从泊松分布P(λ1),P(λ2), 给定显著性水平α, 试设计一个检验统计量，使之能确定检验

H0:λ1=λ2,H1:λ1≠λ2 的拒绝域，并说明设计的理论依据. 解答：

因非正态总体，故宜用大样统计，设

Xˉ=1n1∑i=1n1Xi,S12=1n1-1∑i=1n1(Xi-Xˉ)2; Yˉ=1n2∑i=1n2Yi,S22=1n2-1∑i=1n2(Yi-Yˉ)2.

\\because (Xˉ-Yˉ)-(λ1-λ2)S12n1+S22n2→N(0,1)

∴可选用样本函数u=(Xˉ-Yˉ)-(λ1-λ2)S12n1+S22n2作为拒绝域的检验统计量.

习题2

设某段高速公路上汽车限制速度为104.6km/h, 现检验n=85辆汽车的样本，测出平均车速为

xˉ=106.7km/h, 已知总体标准差为σ=13.4km/h, 但不知总体是否服从正态分布. 在显著性水平α=0.05下，试检验高速公路上的汽车是否比限制速度104.6km/h显著地快？

解答：

设高速公路上的车速为随机变量X, 近似有

X～N(μ,σ2),σ=13.4km/h, 要检验假设

H0:μ=μ0=104.6,H1:μ>104.6. α=0.05,n=85,uα=u0.05=1.645. 拒绝域W={u=xˉ-μ0σ/n>uα.

由xˉ=106.7,σ=13.4,μ0=104.6,n=85得

u=106.7-104.613.4/85≈1.44<1.645.

因为1.44<1.645, 所以接受H0, 即要α=0.05显著性水平下，没有明显的证据说明汽车行驶快于限制速度.