阅卷人 五、(本题6分)求y?sin4x?cos4x的n阶导数.
解 y?sin4x?cos4x?(sin2x?cos2x)2?2sin2xcos2x
11?1?cos4x??1?sin22x?1???22?2?(2分) 31??cos4x,44
1?y??(?sin4x)?4?40cos(4x?)(3分)
42 y???4cos(4x?2?2)(4分) ???所以y(n)?4n?1cos(4x?n?).(6分)
2阅卷人 ? 六、(本题10分)讨论方程lnx?ax(其中a?0)有几个实根?
解:。 设f(x)?lnx?ax,x?(0,??),则f?(x)?x?a,故x?a为f(x)的驻点(2分)
11
aa11当f()?0时,即?lna?1?0,即0?a?时,由于
aex?0?11当x?时,f?(x)?0,当x?时,f?(x)?0,所以f()为最大值。(4分)
1alimf(x)???,limf(x)??? ,
x??所以当0?a?时,此时方程有两个根。(8分)
11ae11当f()?0时,即a?时,方程无根. (10分)
ae1e当f()?0时,即a?时,此时方程有一个根。(9分)
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学 校 姓 名 阅卷人 七、(本大题共3小题,每小题6分,总计18分)
得 分 (1)?11?tanxdx. 解
?1cosx1?tanxdx??sinx?cosxdx?1cosx?sinx?cosx?sinx2?sinx?cosxdx(2分) ?1?2???1?cosx?sinx?sinx?cosx??dx?1?2??x??1sinx?cosxd(sinx?cosx)???(4分) ?12(x?ln|cosx?sinx|)?C.(6分) (2)?sin(lnx)dx.
解:?sin(lnx)dx?xsin(lnx)??x?cos(lnx)?1xdx(2分)
?xsin(lnx)?[xcos(lnx)??x[?sin(lnx)]1xdx](4分) ?xsin(lnx)?xcos(lnx)??sin(lnx)dx所以 2?sin(lnx)dx?x[sin(lnx)?cos(lnx)]?C.(5分) 故 ?sin(lnx)dx?x2[sin(lnx)?cos(lnx)]?C.(6分)
sin2x (3)??dx.
?1?e?x44?解 由于??af(x)dx??0[f(x)?f(?x)]dx,(2分)
xsin2xsin2x1?2?e???sin2x(4分) 而f(x)?f(?x)???sinx??xxxx??1?e1?e?1?e1?e?aasin2x1?cos2x2444所以 ??dx?sinxdx?dx ??00?1?e?x24???
阅卷人 x1?1?4??2??x?sin2x??.(6分) 248??0? a八、(本题10分)设f?(x)在[a,b]上连续,且f(a)?f(b)?0,证明:
f?(t)dt?f(x)?f(a)?f(x), 证 ? ?bxf?(t)dt?f(b)?f(x)??f(x),(3分)
两式相减,得
2f(x)??xaf?(t)dt??f?(t)dt,(5分)
xb所以 2|f(x)|?a?xxaf?(t)dt??bxbf?(t)dt(7分)
ba??|f?(t)|dt??|f?(t)|dt??|f?(t)|dt(9分)
x即
|f(x)|?1b|f?(x)|dx.(10分) ?a2 四 页 第 3页
九、(本题8分)已知函数f(x)具有二阶导数,且limx?0阅卷人 f(x)?0,xf(1)?0,证明:存在点??(0,1),使得f??(?)?0.
f(x)?1,得f(0)?0,f?(0)?0, (2分) x证明:由limx??函数f(x)在[0,1]连续,(0,1)可导,f(0)?f(1)?0,由罗尔定理,至少存在x0?(0,1)使f?(x0)?0。 (6分)
函数f?(x)在?0,x0?连续,(0,x0)可导,f?(0)?f?(x0)?0,由罗尔定理,至少存在??(0,x0)?(0,1)使
f??(?)?0 (10分)
十、(本题10分)设f(x)为连续函数,且满足
阅卷人 f(x)?e2x??(x?t)f(t)dt,求f(x).
0xx解 将上式两边对x求导,得f?(x)?2e2x??0f(t)dt,(2分) 再对上式求导,得f??(x)?4e2x?f(x),即f??(x)?f(x)?4e2x。(4分) 由已知条件,可知f(0)?1,f?(0)?2。(6分)
因此所求函数y?f(x)满足下列初值问题
?y???y?4e2x,, ???y|x?0?1,y|x?0?24512根据初值条件,得C1?,C2?。
55124从而所求的函数为f(x)?cosx?sinx?e2x(10分)
555其通解为Y?C1cosx?C2sinx?e2x(8分)。
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年大连市高等数学竞赛试题B答案
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