阅卷人 五、（本题6分）求y?sin4x?cos4x的n阶导数.
解 y?sin4x?cos4x?(sin2x?cos2x)2?2sin2xcos2x
11?1?cos4x??1?sin22x?1???22?2?（2分） 31??cos4x,44
1?y??(?sin4x)?4?40cos(4x?)（3分）
42 y???4cos(4x?2?2)（4分） ???所以y(n)?4n?1cos(4x?n?).（6分）
2阅卷人 ? 六、（本题10分）讨论方程lnx?ax（其中a?0）有几个实根？
解：。 设f(x)?lnx?ax,x?(0,??)，则f?(x)?x?a，故x?a为f(x)的驻点（2分）
11
aa11当f()?0时，即?lna?1?0,即0?a?时，由于
aex?0?11当x?时，f?(x)?0，当x?时，f?(x)?0，所以f()为最大值。（4分）
1alimf(x)???,limf(x)??? ，
x??所以当0?a?时，此时方程有两个根。（8分）
11ae11当f()?0时，即a?时，方程无根. （10分）
ae1e当f()?0时，即a?时，此时方程有一个根。（9分）
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学 校 姓 名 阅卷人 七、（本大题共3小题，每小题6分，总计18分）
得 分 （1）?11?tanxdx. 解
?1cosx1?tanxdx??sinx?cosxdx?1cosx?sinx?cosx?sinx2?sinx?cosxdx（2分） ?1?2???1?cosx?sinx?sinx?cosx??dx?1?2??x??1sinx?cosxd(sinx?cosx)???（4分） ?12(x?ln|cosx?sinx|)?C.（6分） （2）?sin(lnx)dx.
解：?sin(lnx)dx?xsin(lnx)??x?cos(lnx)?1xdx（2分）
?xsin(lnx)?[xcos(lnx)??x[?sin(lnx)]1xdx]（4分） ?xsin(lnx)?xcos(lnx)??sin(lnx)dx所以 2?sin(lnx)dx?x[sin(lnx)?cos(lnx)]?C.（5分） 故 ?sin(lnx)dx?x2[sin(lnx)?cos(lnx)]?C.（6分）
sin2x （3）??dx.
?1?e?x44?解 由于??af(x)dx??0[f(x)?f(?x)]dx，（2分）
xsin2xsin2x1?2?e???sin2x（4分） 而f(x)?f(?x)???sinx??xxxx??1?e1?e?1?e1?e?aasin2x1?cos2x2444所以 ??dx?sinxdx?dx ??00?1?e?x24???
阅卷人 x1?1?4??2??x?sin2x??.（6分） 248??0? a八、（本题10分）设f?(x)在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)?0，证明：
f?(t)dt?f(x)?f(a)?f(x), 证 ? ?bxf?(t)dt?f(b)?f(x)??f(x),（3分）
两式相减，得
2f(x)??xaf?(t)dt??f?(t)dt，（5分）
xb所以 2|f(x)|?a?xxaf?(t)dt??bxbf?(t)dt（7分）
ba??|f?(t)|dt??|f?(t)|dt??|f?(t)|dt（9分）
x即
|f(x)|?1b|f?(x)|dx.（10分） ?a2 四 页 第 3页
九、（本题8分）已知函数f(x)具有二阶导数，且limx?0阅卷人 f(x)?0，xf(1)?0，证明：存在点??(0,1)，使得f??(?)?0.
f(x)?1，得f(0)?0，f?(0)?0， （2分） x证明：由limx??函数f(x)在[0，1]连续，（0，1）可导，f(0)?f(1)?0，由罗尔定理，至少存在x0?(0,1)使f?(x0)?0。 （6分）
函数f?(x)在?0,x0?连续，(0,x0)可导，f?(0)?f?(x0)?0，由罗尔定理，至少存在??(0,x0)?(0,1)使
f??(?)?0 （10分）
十、（本题10分）设f(x)为连续函数，且满足
阅卷人 f(x)?e2x??(x?t)f(t)dt，求f(x).
0xx解 将上式两边对x求导，得f?(x)?2e2x??0f(t)dt，（2分） 再对上式求导，得f??(x)?4e2x?f(x)，即f??(x)?f(x)?4e2x。（4分） 由已知条件，可知f(0)?1,f?(0)?2。（6分）
因此所求函数y?f(x)满足下列初值问题
?y???y?4e2x,， ???y|x?0?1,y|x?0?24512根据初值条件，得C1?,C2?。
55124从而所求的函数为f(x)?cosx?sinx?e2x（10分）
555其通解为Y?C1cosx?C2sinx?e2x（8分）。
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年大连市高等数学竞赛试题B答案
