(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K）x2-4kx-6=0.
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
2???k??1?1－k?0∴ ?? ?22????3?k????(?4k)?4?6(1?k)?02
3∴k∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=｜EF｜＝(x1?x2)2?(y1?x2)2?＝1?k24k1?k22,x1x2??261?k,于是
(1?k)(x1?x2)
1?k2?(x1?x2)?4x1x2?2?223?k221?k.
而原点O到直线l的距离d＝
21?k2，
∴S△DEF=
12d?EF?12?21?k2?1?k2?223?k221?k?223?k1?k22.
若△OEF面积不小于22,即S△OEF?22，则有
223?k221?k?22?k4?k2?2?0,解得?2?k?2. ③
综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1,
2).
解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理， 得（1-K2）x2-4kx-6=0.
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
2???1－k?0?k??1? ?∴ ?22????3?k????(?4k)?4?6(1?k)?0
3.∴k∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得
｜x1-x2｜=(x1?x2)?4x1x2?2?1?k2?223?k221?k. ③
当E、F在同一去上时（如图1所示）， S△OEF＝S?ODF?S?ODE?12OD?x1?x2?12OD?x1?x2;
当E、F在不同支上时（如图2所示）.
S?OEF?S?ODF?S△ODE=
12OD?(x1?x2)?12OD?x1?x2.
综上得S△OEF＝
12OD?x1?x2,于是
由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=
223?k221?k.
若△OEF面积不小于22,即S?OEF?22,则有
223?k221?k?22?k4?k2?0,解得?2?k?2. ④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.
18. （Ⅰ）设OA?m?d，AB?m，OB?m?d
由勾股定理可得：(m?d)?m?(m?d) 得：d?14m，tan?AOF?ba222，tan?AOB?tan2?AOF?ABOA?43
2ba2由倍角公式??43，解得
ba?12?b?1????a?,则离心率e?52．
（Ⅱ）过F直线方程为y??ab(x?c),与双曲线方程
xa22?yb22?1联立
将a?2b，c?5b代入，化简有
154b2x?285bx?21?0
4??a?1????b?2x1?x2?2?a???2 (x?x)?4x1x2??1?????12???b?????将数值代入，有4???325b5??15????x22?28b?4??5?2??,解得b?3 ??故所求的双曲线方程为
36?y29?1。
19. 解：由条件知F(?2，0)，F12(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
?????????（I）解法一：（I）设M(x，y)，则则F1M?(x?2，y)，F1A?(x1?2，y1)， ?????????????????????????F1B?(x2?2，y2)，F1O?(2，0)，由F1M?F1A?F1B?F1O得 ?x?2?x1?x2?6，?x1?x2?x?4，即? ??y?y1?y2?y1?y2?y于是AB的中点坐标为??x?4y，22???． ?y当AB不与x轴垂直时，
y1?y2x1?x2?2x?42??2yx?8，即y1?y2?yx?8(x1?x2)．
2222又因为A，B两点在双曲线上，所以x1?y1?2，x2?y2?2，两式相减得
(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?4)?(y1?y2)y．
将y1?y2?yx?8(x1?x2)代入上式，化简得(x?6)?y?4．
22当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程． 所以点M的轨迹方程是(x?6)?y?4． ?x1?x2?x?4，解法二：同解法一的（I）有?
?y1?y2?y22当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)． 代入x?y?2有(1?k)x?4kx?(4k?2)?0．
222222
则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?4k22k?1．
?4k2?4k． y1?y2?k(x1?x2?4)?k??4??2?k?1?k?1由①②③得x?4?4kk?124k22k?1．…………………………………………………④
y?．……………………………………………………………………⑤
x?4y当k?0时，y?0，由④⑤得，?k，将其代入⑤有
4?y?x?4y22(x?4)y??14y(x?4)(x?4)?y22．整理得(x?6)2?y2?4．
当k?0时，点M的坐标为(4，0)，满足上述方程．
当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程． 故点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4．
????????（II）假设在x轴上存在定点C(m，0)，使CA?CB为常数．
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)． 代入x?y?2有(1?k)x?4kx?(4k?2)?0．
4k22222222则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?k?1，x1x2?4k?2k?122，
????????2于是CA?CB?(x1?m)(x2?m)?k(x1?2)(x2?2)
?(k?1)x1x2?(2k?m)(x1?x2)?4k?m
2222?(k?1)(4k?2)k?12(1?2m)k?2k?122222?4k(2k?m)k?1222?4k?m
22??m?2(1?2m)?24?4mk?12?m．
2
????????????????因为CA?CB是与k无关的常数，所以4?4m?0，即m?1，此时CA?CB=?1．
当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，2)，(2，?????????此时CA?CB?(1，2)?(1，?2)??1．
2)，
????????故在x轴上存在定点C(1，0)，使CA?CB为常数．
20.（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线ax?by?0的距离为255，
所以
aba?b22?255所以abc?255
?ab25??c5??a?2??5?c得?b?1 由??2?a?222?c?5?c?a?b???所以曲线C的方程是
y24?x?1
2（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m, 由题意知k?2,m?0
?y?kx?m?y?2xm2m由?得A点的坐标为（2?k2?k?m2m,),
由??y?kx?m?y??2x得B点的坐标为（2?k2?k,),
uuuruurm1?2m1?AP??PB,得P点的坐标为（(?),(?)
1??2?k2?k1??2?k2?k将P点的坐标代入
y24?x?1得
24m224?k?(1??)2?
设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）
S?AOB=S?AOQ?S?BOQ
???121212OQgxA?m(m2?k1?12OQgxB?)?112m(xA?xB)2m2?kg224?k4m
(???)?1
双曲线习题及答案
