高中数学知识框架思维导图高考数学知识框架思维导图
第一部分 集合、算法语言、简易逻辑、复数、推理与证明、排列组合
概念 性质 集合的分类 集合 集合的表示 集合间的关系 元素与集合之间的关系：∈，? 确定性、互异性、无序性 有限集、无限集、空集（?） 列举法、描述法、图示法 求解（两个）集合中的参数值，注意检验： 1.是否违反互异性；2.是否违反其他条件 含有??个元素的集合??的子集个数是2??，真子集个数是2???1，非空子集个数为2???1，非空真子集的个数是2???2．(??，?) 子集、相等、真子集：?，?，=，?，? 数轴、Venn图、函数图象 运算：交集(??∩??)、并集(??∪??)、补集(?????) 包含关系的各种等价表示：①?? ??=?? ?????．②?? ??=?? ?????． ③?? (?????)=? ?????．④(?????) ??=?? ?????．⑤??????????? ?????． 含参数的集合??满足?????或?? ??=?等情形时，要分??=?与??≠?两种情况讨论． 算法的特征 概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性 顺序结构 算法语言 程序框图 条件结构 循环结构 基本算法语言 会执行、会补充 算法案例 辗转相除法、更相减损术（求最大公约数）； 秦九韶算法（求多项式函数值）；进位制（k进制与十进制互化） 1.??进制数化为十进制数：?????????1???1??0(??)=????????+?????1?????1+?+??1??+??0??0． 2.十进制数化为??进制数：除??取余法． 3.??(??)=????????+?????1?????1+?+??1??+??0=?=(?((??????+?????1)??+?????2)??+?+??1)??+??0， ??0=????，????=?????1??+???????(??=1，2，?，??)．由里向外逐层计算??1，??2，?，????，即可得到????=??(??)． 原命题：若p则q 关系 命题 互否 互逆 互为逆否 等价关系 互逆 逆命题：若q则p 互否 否命题：若?p则?q 充分条件、必要条件、充要条件 或：p ? q 逆命题：若?q则?p 若?????，则??是??的充分条件，??是??的必要条件 否定：? p ? ? q 否定：? p ? ? q ? p：否定p的结论 命题的否定 改量词，否结论 前充分、后必要 小充分、大必要 小范围推大范围 一真便真 一假则假 真假相对 简易逻辑 复合命题 且：p ? q 非：? p 量词 全称量词 存在量词 全称命题：?x∈M，p(x) 特称命题：?x0∈M，p(x0) 1
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复 数
推理与证明
计算原理
二项式定理
概念 虚数单位（i满足i2=?1）、复数??+??i、实部??、虚部??、实数（??=0）、虚数（??≠0）、 纯虚数（??=0,??≠0）、实轴（??轴）、虚轴（??轴）、模|??|、复数集B； 共轭复数（??=??+??i、???=?????i）； 复数相等的充要条件：??+??i＝??+??i ??=??且??=??(??，??，??，??∈R) ①加法：(??+??i)＋(??+??i)＝(??＋c)＋(b＋d)i； ②减法：(??+??i)－(??+??i)＝(??－c)＋(b－d)i； ③乘法：(??+??i)·(??+??i)＝(??c－bd)＋(??d＋bc)i； ④除法： ??+??i??+??i①(1±i)2=±2i； ②1+i1?i=i；=1?i1+i=?i； =i； 运算 ③??+??i=i(?????i)， 如3+4ii(4?3i)4?3i=(??+??i)(?????i)(??+??i)(?????i)=????+??????2+??2+???????????2+??2i． 几何意义 ④i的周期性. 4?3i??复数??=??+??i、复平面内点Z(??,??)、向量????? ????=(??,??)的一一对应关系； ????? | 复数模的几何意义：|??|=|??+??i|=√??2+??2=|????归纳 合情推理 推理 演绎推理 直接证明 分析法 证明 间接证明 数学归纳法 反证法 执果索因 反设、归谬、结论 1.验证??=??0（初始值）命题成立； 2.若??=??(??≥??0)时命题成立，证明??=??+1时命题也成立. 类比 三段论 综合法 大前提、小前提、结论 由因导果 猜想 两个原理 分类加法计算原理和分步乘法计算原理 排列数：??????=??(???1)?(?????+1)=(??!m组合数：Cn＝(??!?????)!??!?????)! n－m排列与组合 性质 Cn＝Cn Cn＋1＝Cn＋Cm mm－1n m应用 捆绑法、插空法、优先法、隔板法、间接法、建模法、分类法、树状图 0????+??1?????1??+?+???????????????+?+?????1??1?????1+????????(??∈N*). (??+??)??=????????????通项公式 二项式系数性质 Tr＋1＝Cnanrbr －r首末两端“等距离”两项的二项式系数相等 Cn＋Cn＋?＋Cn＝2n 01nCn＋Cn＋Cn?＝Cn＋Cn＋Cn?＝2n1 －024135二项式系数最大项、系数最大项 系数和、二项式系数和 赋值法 求三项式(??+??+??)??的指定项：利用多项式乘法法则及组合思想求解 2
/14 高中数学知识框架思维导图第二部分 函数、导数及微积分
映射 函数 函数图象 及其变换
??:??→??：一对一，或多对一 定义 表示 定义域 三要素 对应关系 值域 使解析式有意义或有实际意义 解析法 列表法 图象法 求解析式：换元法、代入法、凑配法、构造方程组法 注意应用函数的单调性求值域 1.函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；2.证明单调性：作差（商）、导数法；3.复合函数的单调性； 4.快速判断常见函数的单调性（如，取倒数、开方根、乘负数） 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称； 奇函数??(??)在x＝0处有定义→f (0)＝0； 偶函数??(??)＝??(|??|) f (x+T)＝f (T)；两种对称性与周期性的“知二求一” 1.f (a+x)＝f (b-x)，对称轴为??=??+??2??+????2单调性 奇偶性 性质 周期性 对称性 2.f (a+x)+f (b-x)=c，对称中心为(,) 2利用对称性求函数零点的和，或求两个函数图象交点横坐标、纵坐标之和. 最值 二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函数有界性、数形结合、单调性、导数. 一次、二次函数、反比例函数、双勾函数 图象、性质 和应用 基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 分段探究，整体考察 复合函数的单调性：同增异减 赋值法、典型的函数模型 零点存在性定理 零点 建立函数模型 求根法、二分法、图象法、 二次及三次方程根的分布 平移变换：??=??(??)→??=??(??±??)，??=??(??)→??=??(??)±??，??,??>0 对称变换：??=??(??)→??=???(??)，??=??(??)→??=??(???)，??=??(??)→??=???(???) 翻折变换：??=??(??)→??=|??(??)|，??=??(??)→??=??(|??|) 伸缩变换：??=??(??)→??=????(??)，??=??(??)→??=??(????) 作图与识图：定义域、值域、极值；奇偶性、单调性、周期性；关键点，关键线 对数的性质与运算性质 1.对数的性质：①log??1=0；②log????=1；③??log????=??；④log??????=??(??>0且??≠1)；⑤零和负数没有对数． 2.对数的运算性质(??>0，且??≠1，??>0，??>0)：①log??(?????)=log????+log????； ②log??????=log?????log????；【log??????=log??./?????1=?log??】③log??????=??log????(n∈R)．【log??????1?? =?log????】 3.对数的重要公式(??，c均大于零且不等于1，??≠0)： 换底公式：log????=log????log????；推论：①log????????=????log????；②log????????=log????；③log????=1log????．
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导数的概念 几何意义、物理意义 ①??′=0，②(????)′=???????1，③(sin??)′=cos??，④(cos??)′=?sin??， 11⑤(????)′=????，⑥(????)′=????ln??，⑦(ln??)′=，⑧(log????)′= ????ln??基本初等函数的导数 ①,??(??)±g(??)-′=??′(??)±g′(??)；②,??(??)?g(??)-′=??′(??)g(??)+??(??)g′(??)； 导数的运算法则 ③,??(??)-′g(??)=??′(??)g(??)???(??)g′(??)g2(??)；④复合函数??=??(????+??)的导数：????′=????′?????′ 导数 切线方程：?????(??0)=??′(??0)(?????0) 切线型不等式：??(??)≥(或≤)??′(??0)(?????0)+??(??0) 导数的正负与单调性的关系 单调性 导数的应用 极值 最值 生活中的优化问题 ????≥??+1 ln??≤???1 三次函数的性质、图象与应用 对数均值不等式 常见问题 定积分与微积分 ?? ??=?????? ?1 ?? 1? ????+??2>?????ln???ln??>√?????2.???1??+1/≤ln??≤.???/(??≥1). 2??11讨论单调性，讨论零点、极值点个数，成立、恒成立，双参数，双零点，不等式证明 定积分与图形面积的计算 1 ??微积分基本定理：∫????(??)d??=??(??)|??=??(??)???(??) ???? ?? 1 ② ?? 1??????=???????? ?? ?? ?? 1 ??=?????? ?? ?? ?? ?? ① ??=??ln?? 1??③ ln?????? ?? ?? ?? ?? ??=?? ⑤ ??=1 ?? ⑥ ??ln??
? ??1?? ?? ④ 第三部分 三角函数与平面向量
角的概念、任意角、象限角 终边相同的角：*??|??=??+???360°，??∈??+
1 弧长公式??=????、扇形面积公式??=???? 弧度制:π=180° 2
π 0
任意角的三角函数的定义
三角函数符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦 三角函数 同角三角函数的关系 2??+cos2??=1, sin??＝tanα 同角三角函数的关系: sin公式的变形、逆用、 cos??
“1”的替换 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 和角、差角公式，辅助角公式（??sin??±??cos??） 化简、求值、
证明（恒等变形） 1+cos2α1?cos2α 22二倍角公式，降幂公式（cosα=, sinα=） 22 和角、差角公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式 tan??±tan??⑴sin(??±??)=sin??cos??±cos??sin??；⑵cos(??±??)=cos??cos???sin??sin??；⑶tan(??±??)=. 1?tan??tan??2tan?? ⑴sin2??=2sin??cos??；⑵cos2??=cos2???sin2??=2cos2???1=1?2sin2??；⑶tan2??=. 1?tan2?? 11+cos2α1?cos2α⑴sin??cos??=sin2??；⑵cos2α=；⑶sin2α=. 222
????⑴??sin??±??cos??=√??2+??2sin(??±??)，其中??，??>0．其中辅助角??是方程tan??=在(0，)内的解. ??24 /14 高中数学知识框架思维导图
定义域 正弦函数y＝sin x = 三角函数的 图象与性质 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x y＝Asin(?x＋?)＋b 奇偶性 单调性 周期性 对称性 最值 值域 图象（五点作图法） 对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点，正????切函数的对称中心为(，0)（k∈Z）. 2①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以用五点作图法；研究??的取值范围问题，可根据用五点作图法的图象分析； 2??③最小正周期??=；（带绝对值的三角函数的周期是否减半，需视具体函数而言） |??|④用整体代换求单调区间（注意?的符号）；给定区间上的单调性可根据极值点回答； ⑤用整体代换求对称轴??=????+???????12，对称中心为(?????????，b)（k∈Z）； ??2⑥若y＝Asin(?x＋?)具有奇偶性，则??=????或??=????+（二者必居其一）. 正弦定理：??sin??=??sin??=??sin??=2?? 余弦定理：??2=??2+??2?2????cos??， cos??=解三角形 面积 实际应用 ??2+??2???22???? 112方法：三角变换、均值不等式 应用：解三角形，解的个数的讨论 sin2??=sin2??+sin2???2sin??sin??cos?? ??????4?????＝ah＝absinC＝p(p－a)(p－b)(p－c)=212??+??+??2=(??+??+??)?? 21=|??2??1???1??2|，其中R、r分别为外接圆、内切圆半径， p＝????? =(??1,??1)、????????? =(??2,??2).（如何求R，r？） ，????|→a|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2 几何意义 ? |(??∈??)的几何意义 |?? ?????? 共起点时向量??表示?? ，?? 的终点到? 所在直线上的点的距离. 向量??概念 线性运算 模 加、减、数乘 平面向量基本定理：?? =??1?? 1+??2?? 2，?? 1、?? 2不共线 坐标表示及运算 ? 数量积?? ???? |cosθ ＝|?? ||??=x1x2＋y1y2 几何意义 夹角公式 共线（平行） 平面向量 共线与垂直 垂直 投影 ? ? ?????→b在→a方向上的投影为|→b|cos?＝|?? ? |设→a与→b夹角?，则cos?＝? ? ????? ? |? ||??|??→a∥→b?→b＝?→a?x1y2－x2y1=0 →a⊥→b?→a·→b＝0? x1x2＋y1y2=0 ???? =2????????? 三角形中线的向量表示：???????中????边的中点为?? ????? ????+?????两个常用小结论 ????? =????????????? ??????? 已知??????? ????1，??????? ????2不共线，若????1+(1???)????2，则??1，??，??2三点共线 ????? =????????????? ??????? ????? ??????? ????? ??????? 等和线：已知??????? ????1，??????? ????2不共线，若????1+??????2，??+??=?? ，设????=??????1，????=??????2， ????? =(则????????????? +????????????? ，??+??????2????=1)，则??，??，??三点共线.此时直线????也称为等和线. ? +??)? =(??极化恒等式：?? ???? ?(??? )? ???42. ????? +?????????????????? =0? ．????? +?????????????奔驰定理：设??为???????内一点，则?????????????（可推广到四面体中） 解决向量问题的常用方法：基底法，坐标法，平方法，构造法 5
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人教版高中数学知识框架思维导图4
