5.1质点的运动微分方程

质点运动微分方程

动力学基本定律 —— 牛顿三定律

第一定律 不受力（平衡力系）作用的质点将永远保持静止或作匀速直线运动。又称惯性定律。力是改变质点运动状态的原因。（定性） 第二定律 质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度与力的方向相同。 （定量） 质点动力学基本方程

力使物体产生沿其方向的加速度

F—作用在质点上的合力(共点力系的合力) a—质点相对惯性系的加速度(绝对加速度) 瞬时运动量的关系

适用范围 (低速、宏观、惯性系)

ma?F第三定律 两质点间相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿两点连线分别作用在两质点上。

质点运动微分方程

ma??nFi?1i质点运动微分方程直角坐标形式

2mdxndt2?i?F?1xi2mdyndt2?i?F?1yi2mdzndt2?i?F?1zi质点动力学方程的复合运动形式2mdrndt2?i?F?1i质点运动微分方程自然坐标形式mdvndt?i?F?1?iv2m??ni?F?1ni0??nFi?1bim(ae?ar?ac)??nFi?1i

质点动力学的两类问题

ndrm2??Fii?1已知质点的运动，求作用于质点的力。 dt

2 求解这类问题时，只需根据已知的运动规律，通过微分运算或复合运动求出加速度；从而按质点运动微分方程或动力学方程求出未知力。

已知作用于质点的力，求质点的运动。

求解这类问题时，首先要列出质点运动微分方程式，然后进行积分，同时利用运动的初始条件确定积分常数，求出质点的运动规律。

具体求解步骤: 明确研究对象

分析受力----全部外力

分析运动----一般位置(运动描述的方法) 建立方程并求解(解析法和数值法)

已知质点的运动，求作用于质点的力。

例 小球M的重量为G，设以匀速vr沿直管OA运动，同时直管OA以匀角速度?绕铅直轴z转动。求小球对管壁的水平压力。 z 解：研究小球，受力分析。

以小球为动点，OA杆为动系。 一般位置运动分析。

O M G A a?ae?ar?aca??ae??ar??ac?vr ? ? ?ae??2?OM??ar?0?a?2??vr?c? O ac M ae Ff A

ma??FN2GFN?mac???vrgFN

已知作用于质点的力，求质点的运动

例 质量是m的物体M在均匀重力场中沿铅直线由静止下落，受到空气阻力的作用。假定阻力F与速度平方成比例，即F=?v2 ，阻力系数?的单位为kg/m，数值由试验测定。试求物体的运动规律。

解:研究物体，受力分析。

运动分析，取坐标轴x铅直向下，原点在物体的初始位置。mdv2dt?mg??v令

mg??udv?g2dtu2(u2?v)?vudv0u2?v2??tg0u dtx F vM mg x ?1?eee?u(g/u)tv?u(2g/u)t?(g/u)t?1?eeeg物体速度随时间变化的规律为 v?utanh(t)utanh 是双曲正切。

2(g/u)t?(g/u)tud[ee]?xt?0dx??0(g/u)t?(g/u)tge?e(2g/u)t(g/u)t?(g/u)t物体的运动方程为

u2e(gt/u)?e?(gt/u)u2gt?x?lnln(cosh)g2gu有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）

cosh 是双曲余弦。

例 球磨机是一种粉碎机械，滚筒绕通过中心的水平轴O以匀角速转动，内装钢球和物料，钢球被筒壁带到一定高度A(即θ=θ0) 时脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹落下，从而击碎物料。已知滚筒内壁半径为R，求滚筒的转速n。

解：钢球为质点，在一般位置受力分析。? F 运动分析

an?R?2? A FN 质点动力学方程 mR?2?FN?mgcos?mg a1n O n?30?R?2πR??m(FN?mgcos?)??n当θ =θ 0 时钢球将落下，这时FN = 0

n?9.549gRcos?0有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）

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小结 质点动力学基本方程质点运动微分方程 ma?F2mdrndt2?i?F?1i?