[A 基础达标]
1．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，在复平面内，z1－z2对应的点在( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
解析：选B.因为z1＝1＋3i，z2＝3＋i，所以z1－z2＝－2＋2i， 故z1－z2在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限．
2．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 C．1
B．2 D．－1
解析：选D.z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.因为在复平面内z1＋z2
所对应的点在实轴上，所以1＋a＝0，所以a＝－1.
3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为( )
A.5 C．25
B．5 D．10
→
解析：选B.依题意，AC对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.
4．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi(a，b∈R)，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 C．a＝3，b＝－4
B．a＝－3，b＝4 D．a＝3，b＝4
解析：选A.因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，
所以4＋b＝0，b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数， 所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.
5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝( ) A.10 C.2
解析：选D.因为z1－z2＝5＋5i，
B．55 D．52
所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝52.
6．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝____________． 解析：z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i. 答案：4－3i
7．已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是____________．
解析：因为复数z1－z2＝2＋ai－a－i＝(2－a)＋(a－1)i在复平面内对应的点位于第二象
??2－a＜0，
限，所以?
??a－1＞0，
解得a＞2. 答案：(2，＋∞)
8．若复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则实数a＝________，b＝________，c＝________．
解析：z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3b＝－1，b＝－1，
????3＋a＝8，＋(a－3)i＝－3＋ci，所以?解得?a＝5， ??a－3＝c，??c＝2.
答案：5 －1 2 9．计算：
(1)(2＋i)－[(6＋5i)－(4＋3i)]＋(－1＋i)；
(2)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 016＋2 017i)＋(2 017－2 018i)． 解：(1)法一：原式＝(2＋i)－[(6－4)＋(5－3)i]＋(－1＋i) ＝(2＋i)－(2＋2i)＋(－1＋i)＝－i＋(－1＋i)＝－1.
法二：原式＝(2＋i)－(6＋5i)＋(4＋3i)＋(－1＋i)＝(2－6＋4－1)＋(1－5＋3＋1)i＝－1. (2)法一：原式＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 015－2 016)＋2 017]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 016＋2 017)－2 018]i
＝(－1 008＋2 017)＋(1 008－2 018)i＝1 009－1 010i.
法二：因为(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，(2 015－2 016i)＋(－2 016＋2 017i)
＝－1＋i，所以原式＝(－1＋i)×1 008＋2 017－2 018i＝1 009－1 010i. 10．已知复数z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R)． (1)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是实数？ (2)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是纯虚数？
解：由题意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i. (1)若复数z1－z2＋z3是实数，则a＋4＝0，即a＝－4.
2??1－2a＋a＝0
(2)若复数z1－z2＋z3是纯虚数，则?，即a＝1.
??a＋4≠0
[B 能力提升]
11．已知复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( ) A.3 C．6
B.5 D.6
（cos θ－sin θ）2＋4＝
解析：选D.由题意，得|z1－z2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝5－2sin θcos θ＝
5－sin 2θ≤ 6，故|z1－z2|的最大值为6.
12．若复数z满足条件|z－(2－2i)|＝1，则在复平面内z对应的点所在的图形的形状为________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－(2－2i)|＝|x＋yi－2＋2i|＝|(x－2)＋(y＋2)i|＝1，所以(x－2)2＋(y＋2)2＝1.所以在复平面内z对应的点在一个圆上．
答案：圆
13．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，→→→
B，C，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
→→→→→→
解析：由题意得OC＝(3，－4)，OA＝(－1，2)，OB＝(1，－1)．由OC＝λOA＋μOB，得
??－λ＋μ＝3，
(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以?
?2λ－μ＝－4，?
??λ＝－1，
解得?所以λ＋μ＝1.
??μ＝2，
答案：1
→
14．已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2＋i，向量BA对应的复→
数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积．
→→
解：(1)因为向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i， 所以向量AC→
对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又因为OC→＝OA→＋AC→
，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD→＝BC→，
所以向量AD→
对应的复数为3－i， 即AD→
＝(3，－1)． 设D(x，y)，
则AD→
＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以???x－2＝3，?解得???y－1＝－1，?x＝5，?
?y＝0.
所以点D对应的复数为5. (2)因为BA→·BC→＝|BA→||BC→
|cos B，
所以cos B＝BA→·BC→3－212
|BA→||BC→＝|5×10＝52＝10.
因为0 所以S→BC→ 72?ABCD＝|BA|||sin B＝5×10×10＝7， 所以平行四边形ABCD的面积为7. [C 拓展探究] 15．已知z0＝2＋2i，|z－z0|＝2. (1)求复数z在复平面内对应的点所在的图形； (2)求当z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值． 解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－z0|＝2， 得|x＋yi－(2＋2i)|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝2， 解得(x－2)2＋(y－2)2＝2， 所以复数z对应的点所在的图形是以Z0(2，2)为圆心，半径为2的圆． (2)当z对应的Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值． 因为|OZ0|＝22，半径r＝2， 所以当z＝1＋i时，|z|min＝2.
新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.2.1 应用案巩固提升
