圆锥曲线的几何性质
一、选择题（6'?6?36'）
x2y25?11.我们把离心率等于黄金比的椭圆称之为“黄金椭圆”.设2?2?1(a?b?0)为
ab2 黄金椭圆，F、A分别是它的左焦点和右端点，B是它的短轴的一个端点，则?ABF?（ ） A，60 B，75 C，90 D，120
x2y22.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P，Q两点，交l于R
ab点，则（ ）
A，?PFR??QFR B，?PFR??QFR
C，?PFR??QFR D，?PFR与?QFR的大小不确定
3.已知点A(0,2)和抛物线y2?x?4上两点B、C，使得AB?BC，当点B在抛物线上移动时，点C的纵坐标的取值范围是 （ ）
A，(??,0][4,??) B，(??,0] C，[4,??) D，[0,4,]
x2?y2?1，A(0,?1)为短轴的一个端点，M，N为椭圆上相异两点。若总存在以MN为底4.设椭圆方程3边的等腰?AMN，则直线MN的斜率k的取值范围是 （ ）
A，(?1,1) B，[?1,1] C，(?1,0] D，[0,1]
PF1x2y25.已知F1,F2分别为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若
PF2ab的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是 （ ）
A，(1,??) B，(1,2] C，(1,3] D，(1,3] 6.已知P为抛物线y?4x上一点，记P到此抛物线的准线的距离为d1，P到直线 x?2y?12?0的距离为d2，则d1?d2的最小值为 （ ） A，25 B，''二、填空题（9?6?54）
22115125 C，?1 D，不存在 55
7.设双曲线x2?y2?6的左、右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且?PA2x =3?PA1x的度数是 。 1x?10，则?PA
x2y28.如图1，设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右
ab 焦点分别为F1,F2，左准线为l，P为椭圆上一点， PQ?l于点Q。若四边形PQF1F2为平行四边形， 则椭圆离心率e的取值范围是 。
9.圆心在x轴上，半径为1的动圆与抛物线y2?2x相交，交点处的切线互相垂直，动圆的圆心坐标是 。
x2y2??1的两条准线交于 10.已知直线y?(x?5)tan?(0????,且??)与双曲线
2169? A，B两点。若OA?OB，则sin?? 。
x2y211.设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，PQ是过左焦点F且与x轴不垂直的弦。若在左准线l上存在点R，
ab使?PQR为正三角形，则椭圆离心率e的取值范围是 。
12.设点B、C分别在第四、第一象限，且点B、C都在抛物线y2?2px(p?0)上，O为
3 坐标原点，?OBC?30,?BOC?60，k为直线OC的斜率，则k?2k的值为 。
''三、解答题（20?3?60）
y C A P B F1 O F2 x2y213．如图2，给定椭圆2?2?1和圆
ab x?y?a?b(a?b?0)，CD为圆的任一 条直径，CD交椭圆于P点，在CD的一侧， 以P为圆心，PF1为半径画弧交圆于点A；
2222x D 图2
在CD的另一侧，以P为圆心，PF2为半径画弧交圆于点B，求证：A、P、B三点共线.
14.设抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，AB为抛物线的焦点弦，点M在抛物线上，O为坐标原点。求证：
（I）直线MA、MF、MB的斜率成等差数列； （II）当MA?MB时，?MFO??BMF??AMF.
15.如图3，A、B为椭圆x2y2a2?b2?1(a?b?0)
和双曲线x2y2a2?b2?1的公共顶点.P、Q分别
为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满 足AP?BP??(AQ?BQ)(??R,??1). 设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别是k1,k2，
k3,k4.
(I)求证：k1?k2?k3?k4?0；
（II）设F1,F2分别为椭圆和双曲线的右焦点；若求k221?k2?k23?k24的值.
PF2//QF1，
参考答案： 一、1.C 由
2c5?1，得a2?ac?c2?0， ?a222222222而AB?BF?FA?(a?b)?a?(a?c)?2(a?ac?c)?0，知?ABF?90
2.B 设l为双曲线的右准线，作PP'?l,QQ'?l，由三角形相似有
PRRQ?PP'QQ'.
由双曲线定义得，
PFPP'?e?QFQQ'。所以
PRRQ?PFQF，知FR平分?PFQ。
3.A 设B(y12?4,y1)、C(y2?4,y)，显然y12?4?0。 又kAB?y1?21?,且AB?BC，得kBC??(y1?2). 2y1?4y1?2?y?y1??(y1?2)[x?(y12?4)]?由?，消去y，得y12?(2?y)y1?(2y?1)?0.
2??y?x?4由??0，得y?0或y?4。
x2?y2?1，得(1?3k2)x2?6kbx?3b2?3?0. 4.A 设MN：y?kx?b，代入322由??0，得b?1?3k.又由AM?AN，得(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2?2)
(y1?y2)?0.因为y1?y2?k(x1?x2)，y1?y2?2?k(x1?x2)?2b?2，
所以(1?k2)(x1?x2)?2k(b?1)?0，将x1?x2??6kb代入，
1?3k22222得2b?1?3k，代入b?1?3k，得k?1，于是?1?k?1.
PF1(2a?PF2)24a24a2???PF2?4a?4a?4a?8a，当且仅当5.D ?PF2 PF2PF2PF2PF226a?2c， 即PF2?2a时取等号。这时PF1?4a.由PF1?PF2?F1F2，得
即e?c?3，得e?(1,3]. a26.B 设P(t,2t)，则d1?d2?t?1?2t2?4t?125. (1)当t??6或t?2时，d1?d2?(1?12412)t?t?1?.所以当t?2时， 555
(d1?d2)min?5.
(2)当?6?t?2时，d1?d2?(1?124122时， )t?t??t，所以当t?5555?1 (d1?d2)min?115. 5115。 5由（1），（2）知，(d1?d2)min?二、7.20. 设P(x0,y0)，则x02?y02?6.
y02由tan?PA1x?，tan?PA2x?，得tan?PA1x?tan?PA2x?2=1
x0?6x0?6x0?6y0y0于是?PA2x?90??PA1x，由3?PA1x?10?90??PA2x，得?PA1x?20.
a2a21?2c，即x0?2c?. 8.(,1). 设P(x0,y0)，则由PQ?F1F2，得x0?2cca21c1?a。解得??1，即e?(,1). 由?a?x0?a，得?a?2c?2a2c9.(1?5,0) 设圆心为(a,0)，则圆的方程为：(x?a)2?y2?1.设圆与抛物线的交点为 4P(2t2,2t)，则(2t?a)2?4t2?1。抛物线在点P处的切线方程为2ty?x?2t2。
2又上述直线与圆在点P处的切线互相垂直，于是直线必过圆心(a,0)，得2t??a。
2代入(2t?a)2?4t2?1，得4a?2a?1?0。解得a?1?5（舍去正值）。 410.
16161691641tan?)。 将直线与准线x??联立，求得A(,?tan?)、B(?,?2555555sin2?2561616941tan?)?0，即?由OA?OB，得?(?)?(?tan?)?(?，
5555cos2?369解得sin??16。 2511.(3,1) 设弦PQ的中点为M，过点P、M、Q分别作左准线l的垂线，垂足分别为 3111PQ。 P',M',Q'，则MM'?(PP'?QQ')?(PF?QF)?22e2e
2019届高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线的几何性质习题
