探究圆幂定理在中考中的应用
发表时间：2020-12-31T12:13:48.317Z 来源：《教学与研究》2020年第26期 作者： 陈薇薇[导读] 近年来，圆幂定理知识点在中考中频繁出现， 陈薇薇
湖北省阳新经济开发区白杨中学 435200
摘要：近年来，圆幂定理知识点在中考中频繁出现，对于初中生来说，应掌握圆幂定理学习要点，结合自身学习情况探究圆幂定理在与圆有关线段比例问题中的应用技巧。这既能提高数学分数，又能为日后圆幂定理运用奠定基础。 关键词：中考；圆幂定理；应用分析
引言：圆幂定理知识点属于中考的常见考点，初中数学教师围绕“内分”与“外分”含义、弦以及割线的任意性、积的“确定性”与“任意性”重点分析。解答与圆有关线段比例问题时，圆幂定理灵活运用十分关键，这能降低问题难度，在短时间内准确获得问题答案。1.中学圆幂定理学习要点1.1“内分”与“外分”含义
圆幂定理中的“内分”，主要是指在线段上的分点，需要将一条线段分割成两条线段[1]。圆幂定理中的“外分”主要是指在线段的延长线上将一条线段分割成两条线段。如，在⊙O的弦AB和CD延长线中与圆外的点P相交，可知点P不仅在AB延长线上，而且在CD延长线上，其中，点P可将弦AB分成PA和PB两条线段，将CD分成PC和PD两条线段。 1.2弦、割线和切线的任意性
在切割线定理中，主要是指从圆外一点引圆的切线和割线，经过一点的任意割线与两条中的任意一条切线[2]。两条割线主要是指从切割线定理中进行推论，同时，切割线又指任意的两条割线，主要是指从圆外的一点引圆的两条割线而形成，是圆外的任意点。1.3积的“确定性”与“任意性”
在圆幂定理中，确定性主要是指“两条线段的比例中项”和“两条线段长的积”，在同一圆中，若分点不变，则“两条线段的积相等”。若两条线段的比例中项，则为切线的长。但是这些量本身也具有任意性，若分点出现变动，或圆的大小出现变化，量也会随之出现变化，可任意选取分点，量也会随之而发生变化。2.在与圆有关线段比例问题中的应用
圆幂定理在与圆有关线段比例问题中被广泛应用，但是由于涉及到的问题较为复杂，并且难度较大，在实际的应用期间，定理中的条件即成比例的线段涉及同一个圆及分点，但是需要由等量代换作为辅助。在圆幂定理中包含有各种等式的恒等变形。圆幂定理本身属于一类逆定理，在与圆有关线段比例问题中应用包括以下五方面内容：2.1证明角相等
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E。点F是弧AC上的任意一点，延长AF交DC的延长线于点F，连接EC，FD。求证：∠GFC=∠AFD。证明：连接BC，∵四边形ABCF是圆内接四边形，∴∠ABC=∠GFC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠AFD=∠ABC，∴∠GFC=∠AFD。 2.2求线段的长
AB是⊙O的弦,P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径。设⊙O的半径为Rcm,由圆幂定理得：PA·PB={OP2-R2}，∵AB=10，PA=4，∴PB=AB-PA=10-4=6.∵0P=5，R>OP,，∴4x6=R2-52，解之，得：R=7，（负值已舍去），即⊙O的半径为7cm。 2.3证明直线垂直
2.4证明线段等积
在平面几何中圆幂定理作为一个重要的定理，被广泛应用于解证几何问题中，在解决定值问题中取得了良好的应用效果[3]。例如，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B是大圆上任意两点，过A、B作小圆的割线AXY和BPQ，求证：AX·AY=BP·BQ。在一些较为复杂的平面图形中，通常由简单的图形构成，为了完成对这些图形的构建，一般是使用辅助线来进行适当的添加，以此为契机，来得出不同辅助线的添法。证明：过点A、B分别作小圆的切线AC、BD，C、D为切点，这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有AC2＝AX·AY，BD2＝BP·BQ。再连结CO、AO、DO、BO，易证Rt△AOC≌Rt△BOD，得出AC＝BD。所以AX·AY＝BP·BQ。 2.5证明点共圆
⊙O1、⊙O2、⊙O3均经过点A和B，点P是线段AB延长线上任意一点，且PC、PD、PE分别与⊙O1、⊙O2、⊙O3相切于C、D、E，在同一个圆上。证明：PC切⊙O1于点C，PB是⊙O的割线，PC2·PB·PA。同理：PD2=PB·PA，PE2=PB·PA，PC2=PD2=PE2，PC=PD=PE，点C、D、E，在以P为圆心，PC为半径的圆上。
结论：综上所述，解答与圆有关线段比例的考题时，圆幂定理在证明角相等、求线段的长、证明直线垂直、证明线段等积、证明点共圆的题型中运用。结合实例，掌握圆幂定理性质，以及解题技巧面，从而降低应用难度，拓展学生数学思维。参考文献：
[1]张雷.对中考数学命题存在的一类现象的思考[J].中学数学,2013(1):53-55.
[2]荆建春,高金海.由一道中考题探索线段长度问题的求解策略[J].初中数学教与学,2017:32.
[3]曾庆丰.对策:从圆幂定理能否作为课题学习的内容说开去——一个相似基本图形在圆中的演变及应用[J].中学数学教学参考:中旬,2009,(005):36-38.
探究圆幂定理在中考中的应用
