最新人教版高中数学选修1-1《导数及其应用》复习巩固

整合提升

知识网络

????导数的概念——导数的几何意义——基本导数公式??则?函数的四则运算求导法导数?导函数??求简单函数的导数

复合函数的求导法则????判断函数的单调性??值?导数的应用?判断函数的极大（小）???求函数的最大（小）值?

知识回顾

本章主要内容是导数的概念，求导数的方法，以及导数的应用.

(1)导数的概念.函数y=f(x)的导数f′(x)，就是当Δx→0时，函数的增量Δy与自变量Δx的比的极限，即 f′(x)=lim?y?x?yf(x??x)?f(x)?lim

?x?0?x?x?0?x函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率. (2)求导数的基本方法

①常用的导数公式.c′=0(c为常数)； (xn)′=n·xn-1(n∈N*) ②导数的运算法则. (u±v)′=u′±v′;(u·v)′=u′v+uv′;((3)导数的应用.

ff?g?fg?)′=(g≠0). 2gg

典例精讲

【例1】 若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，试求k的值.

思路分析：观察直线与曲线都经过(0，0)点，说明切点可能位于(0，0)点或其他点处，再分类讨论，否则易漏解.

解：∵y=x3-3x2+2x,∴y′=3x2-6x+2.

y′|x0=2,又∵直线与曲线都经过原点，则 ①若直线与曲线切于原点时，k=2.

②若直线与曲线切于原点外另一点(x0,y0)(x0≠0) 则k=

y0y32,由(x0,y0)在曲线y=x3-3x2+2x上，∴y0=x0+2x0,又∵0=k, ?3x0x0x0y02222=x0-3x0+2,又∵y′=3x2-6x+2,∴k=3x0-6x2+2.∴x0-3x0+2=3x0-6x0+2.∴x0=0(舍)或x0∴有k=

x0=

333311.所以，当x0=时，k=()2-3×+2=-.综上所述k=2或k=-. 222244【例2】 求下列函数的单调区间 (1)f(x)=x4-2x2-5 (2)f(x)=3x2-2lnx 解：(1)函数的定义域为(-∞,+∞). f′(x)=4x3-4x,令f′(x)=0得，

x1=0,x2=1,x3=-1,用x1、x2、x3分割定义域，得下表

x f′(x) f(x) (-∞,-1) - -1 0 (-1,0) +

0 0 (0,1) - 1 0 (1,+∞) + ∴f(x)的单调增区间为(-1,0)和(1，+∞)，单调减区间为(-∞,-1)和(0，1) (2)函数的定义域为(0,+∞)

23x2?1f′(x)=6x-?2?

xx令f′(x)=0，得x1=

33，x2=- 33其中x2不在定义域内，用x1分割定义域，得下表

x (0,f′(x) f(x) ∴函数f(x)的单调减区间是(0,

3) 3- 3 30 (3,+∞) 3+ 33),单调增区间是(,+∞) 3312

x成立. 2【例3】 当x>0时，证明：不等式ln(1+x)>x-思路分析：欲证x>0时，ln(1+x)>x-

121x,可以证F(x)=ln(1+x)-(x-x2)>0易知F(0)=0，因此22可以考虑证F(x)在(0,+∞)上是增函数. 证明:设f(x)=ln(1+x),g(x)=x-F(x)=f(x)-g(x)=ln(1+x)-(x-

121x,f′(x)=,g′(x)=1-x, 21?x11x2),F′(x)=f′(x)-g′(x)= 21?x-(1-x).当0

x2F′(x)=f′(x)-g′(x)=>0，因此当x>0时总有F′(x)>0.∴F(x)在(0,+∞)上是增函数.∴当x>0时，

1?xF(x)>F(0)=0，即ln(1+x)-(x-

121x)>0.∴ln(1+x)>x-x2. 22【例4】 设函数f(x)=ax3+bx2+cx,在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1,求a、b、c并求其极值.

思路分析：此题属于逆向思维，仍可根据求函数极值的步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为f′(x)=0的根.利用这一关系，来用待定系数法求a、b、c. 解:f′(x)=3ax2+2bx+c

∵x=1,x=-1为函数极值点

则1,-1为方程f′(x)=0即3ax2+2bx+c=0的两根

?2b??0 ①??3a∴? ?c??1 ②??3a又f(1)=-1, ∴a+b+c=-1

③

解得a=列表：

131333,b=0,c=-,此时f(x)=x3-x,f′(x)= x2- 222222(-∞,-1) + -1 0 极大值1 (-1,1) - 1 0 极小值-1 (1,+∞) + x y′ y ∴y极大=y|x=-1=1,y极小=y|x=1=-1

【例5】 求函数f(x)=|2x3-9x2+12x|在闭区间［-,15］上的最大值与最小值. 42思路分析：由于函数f(x)的表达式中含有绝对值，因此，首先应该利用分段函数来表示f(x)，然后像例1那样求出各段函数上的导数为0点处的函数值及边界值，最后进行比较可得所求的最值.

解:函数f(x)在闭区间［-,15］上连续，故必存在最大值与最小值. 42因为f(x)=|2x3-9x2+12x|=|x(2x2-9x+12)|

1?2?x(2x?9x?12)(??x?0),??4=-?

5?x(2x2?9x?120)(0?x?).?2?所以，f′(x)=

1?2?6x?18x?12??6(x?1)(x?2)(??x?0),??4 ?5?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)(0?x?).?2?函数f(x)在x=0处不可导，且由f′(x)=0得x1=1，x2=2， 可求得f(0)=0,f(1)=5,f(2)=4 因此，f(x)max=5,f(x)min=0.