微分中值定理与导数的应用习题

由天下分享时间：2025/2/27 6:09:48 加入收藏我要投稿点赞

微分中值定理与导数的应用习题

第四章微分中值定理与导数的应用习题

§4.1 微分中值定理

1．填空题

（１）函数f(x)?arctanx在[0, 1]上使拉格朗日中值定

??理结论成立的ξ是4?．

（２）设f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?5)，则f?(x)?0有 3 个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,5)中．

2．选择题

（１）罗尔定理中的三个条件:f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，是f(x)在(a,b)内至少存在一点?，使f?(?)?0成立的（ B ）．

A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

（２）下列函数在[?1, 1]上满足罗尔定理条件的是（ C ）．

A. f(x)?e B. f(x)?|x| C. f(x)?1?x D.

x21??xsin, x?0f(x)??x? x?0?0,

12（３）若f(x)在(a,b)内可导，且x、x是(a,b)内任意两点，则至少存在一点?，使下式成立（ B ）．

A． f(x)?f(x)?(x?x)f?(?)??(a,b)

B． f(x)?f(x)?(x?x)f?(?)?在x,x之间

2112121212 11

C． D．

f(x1)?f(x2)?(x2?x1)f?(?)x1???x2f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(?)x12 ???x

(???x??)23．证明恒等式：arctanx?arccotx??2所以f(x)为一常数．

设f(x)?c，又因为f(1)??， 2故

arctanx?arccotx?．

1?021?x证明：令f(x)?arctanx?arccotx，则f?(x)?1?1x?，

?2(???x??)．

4．若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且

f(x)?f(x)?f(x)，其中a?x?x ?x?b，证明:在(x,x)内至少有一点?，使得f??(?)?0．

证明：由于f(x)在[x,x]上连续,在(x,x)可导,且f(x)?f(x)，根据罗尔定理知，存在??(x,x)，使

f?(?)?0．同理存在??(x,x)，使f?(?)?0．又f?(x)在[?,?]上

符合罗尔定理的条件，故有??(x,x)，使得f??(?)?0．

5．证明方程1?x?x2?x6?0有且仅有一个实根．

1231231312121211212232121323证明：设

x2x3f(x)?1?x??26?0，，则f(0)?1?0,f(?2)??13根据零点存在定理至少存在一个??(?2,0)，使得f(?)?0．另一方面，假设有x,x?(??,??)，且x?x，使f(x)?f(x)?0，根据罗尔定理，存在??(x,x)使f?(?)?0，即

12121212 11

11????2?02，这与

11????2?02矛盾．故方程

x2x31?x???026只

有一个实根．

6．设函数f(x)的导函数f?(x)在[a,b]上连续，且

其中c是介于a,b之间的一个实数．证f(a)?0,f(c)?0,f(b)?0，

明：存在??(a,b), 使f?(?)?0成立.

证明：由于f(x)在[a,b]内可导，从而f(x)在闭区间[a,b]内连续，在开区间(a,b)内可导．又因为f(a)?0,f(c)?0，根据零点存在定理，必存在点??(a,c)，使得f(?)?0．同理，存在点??(c,b)，使得f(?)?0．因此f(x)在??,??上满足罗尔定理的条件，故存在??(a,b)，使f?(?)?0成立．

7. 设函数f(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导. 试证:至少存在一点??(0,1), 使

f?(?)?2?[f(1)?f(0)].

证明：只需令g(x)?x，利用柯西中值定理即可证明.

8．证明下列不等式

x?cosx．（１）当0?x??时，sinx1122122证明：设f(t)?sint?tcost，函数f(t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，且f?(t)?tsint, 故f(x)?f(0)?f(?)(x?0), 0???x, 即

sinx?xcosx?x?sin??0 (0?x??)

x?cosx．因此，当0?x??时，sinx' 11

（２）当

a?b?0?baa?b时，aa． ?ln?bb证明：设f(x)?lnx，则函数在区间[b,a]上满足拉格

朗日中值定理得条件，有

f(a)?f(b)?f(?)(a?b),b???a

a1ln?(a?b)，又因为b???a，所以因为f(x)?1，所以''xb?1a?11??b，从而