2019年全国卷3文科数学试题及参考答案
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【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、向量的坐标运算、利用椭圆方程消y1,y2 21. (12分)
ax2?x?1. 已知函数f?x??ex(1)求曲线y?f?x?在点?0,?1?处的切线方程； (2)证明：当a?1时，f?x??e?0. 【答案】(1)2x?y?1?0；(2)见解析 【解析】(1)f'?x???ax2??2a?1?x?2ex,f'?0??2
因此曲线y?f?x?在点?0,?1?处的切线方程为：2x?y?1?0
2x?1e?x(利用不等式消参) (2) 当a?1时，f?x??e?x?x?1?e??2x?1x?1x?1令g?x??x?x?1?e则g'?x??2x?1?e，g''?x??2?e?0，
?g'?x?单调增，又g'??1??0，
故当x??1时，g'?x??0，g?x?单减；当x??1时，g'?x??0，g?x?单增； 故g?x??g??1??0 因此f?x??e?0
【考点】切线方程、导数的应用
(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 选修4?4：坐标系与参数方程(10分)
?x?cos?(?为参数)，过点0,?2在平面直角坐标系xOy中，eO的参数方程为?y?sin??且倾斜角为?的直线l与eO交于A,B两点.
??(1) 求?的取值范围；
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(2) 求AB中点P的轨迹的参数方程.
?x?2sin2?????3?????3??,??(2)【答案】(1)???,；???4,4?? ?2244??????cos2???y??22?【解析】(1)当???时，直线l:x?0，符合题意； 2当??2??1，即时，设直线l:y?kx?2，由题意得d?22k?1??????3??k????,?1?U?1,???，又k?tan?，????,?U?,?
?42??24???3??综上，???,?
?44??x?tcos?????3?????(2)可设直线参数方程为???4,4??，代入圆的方程可得：
y??2?tsin???????t2?22tsin??1?0
?tP?t1?t2?2sin? 2???x?2sin?cos???3????????4,4??
?????y??2?2sin?sin???2sin2??x?,2即点P的轨迹的参数方程为??y??2cos2?????3???????4,4??
????(也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况) 【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程
23. 选修4?5：不等式选讲(10分)
已知函数f?x??2x?1?x?1. (1)画出y?f?x?的图像；
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(2)当x??0,???时，f?x??ax?b，求a?b的最小值. 【答案】(1)见解析；(2)5
1??3x,x???2?1?【解析】(1)f?x???x?2,??x?1，图象如下
2??3x,x?1??y321.5-0.5O1
x(2)由题意得，当x?0时，ax?b的图象始终在f?x?图象的上方，结合(1)中图象可知，a?3,b?2，当a?3,b?2时，a?b最小，最小值为5， 【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题
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