2019年全国卷3文科数学试题及参考答案
【答案】
1 2rr【解析】2a?b??4,2?，故2?4?
【考点】向量平行的坐标运算
14. 某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方式有简单随机抽样，分层抽样和系统抽样，则最适合的抽样方法是______. 【答案】分层抽样
【解析】题干中说道“不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异”，所以应该按照年龄进行分层抽样
【考点】抽样方法的区别
?2x?y?3?0?115.若变量x,y满足约束条件?x?2y?4?0，则z?x?y的最大值是_________.
3?x?2?0?【答案】3
【解析】采用交点法：(1)(2)交点为??2,1?，(2)(3)交点为?2,3?，(1)(3)交点为?2,?7? 分别代入目标函数得到?，3，?，故最大值为3(为了严谨可以将最大值点?2,3?代入方程(1)检验一下可行域的封闭性) 本题也可以用正常的画图去做 【考点】线性规划 16. 已知函数f?x??ln【答案】?2 【解析】令g?x??ln5313?1?x2?x?1，f?a??4，则f??a??_______.
??1?x2?x，则g??x??ln??1?x2?x??g?x?，
??f?a??g?a??1?4，而f??a??g??a??1??g?a??1??2
【考点】对数型函数的奇偶性
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2019年全国卷3文科数学试题及参考答案
三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分. 17. (12分)
等比数列?an?中，a1?1,a5?4a3. (1)求?an?的通项公式；
(2)记Sn为?an?的前n项和. 若Sm?63，求m.
n?1【答案】(1)an?2或an???2?n?1；(2)m?6
n?12n?1【解析】(1)a5?4a3?a3q，?q??2，?an?2或an???2?
(2) 当q?2时，S?m11??2??1m?m??63，解得m?6
m当q??2时，S?m综上：m?6
11???2?3???63，得??2???188无解
【考点】等比数列通项公式与前n项和公式 18. (12分)
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
第一种生产方式 9 7 6 5 4 2 1 6 7 8 9 第二种生产方式 8 9 2 3 4 5 5 9 8 7 7 3 1 6 3 0 8 2 2 0 5 0 1 0 5 1 4 6 2 4 6 6 8 (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
第一种生产方式 超过m 不超过m 2018年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第7页（共13页）
2019年全国卷3文科数学试题及参考答案
第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
n?ad?bc?附：K2?，
?a?b??c?d??a?c??b?d?P?K2?k? 0.050 k 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 2【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；
【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在
70min~80min之间，而第一组数据集中在80min~90min之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上
68?72?76?77?79?82?83?83?84?85?86?87?87?88?89?90?90?91?91?92?8420同理E2?74.7，QE2?E1，故第二组生产方式效率更高 E1?(2)由茎叶图可知，中位数m? 第一种生产方式 第二种生产方式 79?81?80，且列联表为： 2超过m 15 5 不超过m 5 15 (3)由(2)可知K2?40?152?52?220?20?20?20?10?6.635，
故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验 19．(12分)
?所在的平面垂直，M是CD?如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD上异于C,D的点．
(1)证明：平面AMD?平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC//平面PBD？说明理由.
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MDC
AB【答案】(1)见解析；(2)P为AM中点
?ABCD?CDM??BC?DCM?BC?DM??BC?CD?【解析】(1)??DM?BMC?ADN?BMC
MC?DM??(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容) (2)当P为AM的中点时，MC//平面PBD. 证明如下
连接BD，AC交于点O，易知O为AC中点，取AM中点P，连接PO，则PO//AC，
又MC?平面PBD，PO?平面PBD，所以MC//平面PBD
MDPCO
AB【考点】面面垂直的判定、线面垂直、存在性问题 20. (12分)
x2y2已知斜率为k的直线l与椭圆C:??1交于A,B两点，线段AB的中点为
43M?1,m??m?0?.
(1)证明：k??1； 2uuuruuuruuuruuuruuuruuurr(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP?FA?FB?0. 证明2FP?FA?FB.
【答案】(1)见解析；(2)见解析
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?x12y12??1??43【解析】(1) 点差法：设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则?2相减化简可得： 2?x2?y2?1?3?4y1?y2y1?y233???，kOM?kAB??(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接x1?x2x1?x2443111m2用)，?m??，易知中点M在椭圆内，??1，代入可得k??或k?，又
4k43221m?0，?k?0，综上k??
2?x2y2???13联立法：设直线方程为y?kx?n，且A?x1,y1?,B?x2,y2?，联立?4可得， ??y?kx?n??8kn?x?x?12??4k2?36n2224k?3x?8knx?4n?12?0，则? y?y?kx?x?2n?，??1212224k?3?xx?4n?1212?4k2?3???4kn?x?1???M34k2?3??，两式相除可得m??，后续过程和点差法一样(如果用?算的话
3n4k?y?m?M?4k2?3?比较麻烦)
uuuruuuruuurruuuruuuurr14m2QP1,?2m(2) FP?FA?FB?0，?FP?2FM?0，即??，???1，
43?m?37m?0??k??1,n?m?k?， ?441?0， 4由(1)得联立后方程为7x2?14x?uuuruuurc?a2?c?a2?c?FA?FB???x1????x2??2a??x1?x2??3(椭圆的第二定义)
a?ca?a?c?uuur(或者FA??x12?x?x1?1??y??x1?1??3?1?4??2?21代入椭圆方程消掉y1
??2212uuuruuuruuurx2x?x2同理FB?2?，?FA?FB?4?1?3)
22uuur3而FP?
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