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数学模型第六章

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第六章 代数模型

线性代数在许多问题的解决中起着十分关键的作用,本章主要讨论以向量和矩阵为工具的数学模型.

§6.1投入产出模型

6.1.1 投入产出表及其相关概念 在对某地区作经济分析时,把该地区视作一个国民经济系统,把其分为若干个部门.各个经济部门在进行经济活动时的消耗称为投入,例如:原材料,设备,能源等. 而各经济部门在进行经济活动时的成果称为产出.如,产品.农作物等.

反映国民经济系统内各部门之间的投入与产出的依存关系的数学模型称为投入产出模型.

投入产出模型的理论方法是由美国经济学家华西里·列昂节夫(Wassily Leontief)于1936年所创建,并于1973年获得诺贝尔经济学奖.

投入产出模型由投入产出表 (或称平衡表)与平衡方程构成,按计量单位分为价值型和实物型. 我们在这里只介绍价值型投入产出表.

投入产出表通常是以年度为单位编制的.规模可以是全国,也可以是某地区或某企业.表6.1.1是一张价值型投入产出表.

表6.1.1 价值型投入产出表 消 耗 部 门 最 终 产 品 部门间流量 总产品 1 2 … n 消费 积累 出口 合计 生 1 x11 x12 … x1n y1 x1 产 2 x21 x22 … x2n y2 x2 部 ? ? ? … ? ? ? 门 n xn1 xn2 … xnn yn xn 净 劳动报酬 v1 v2 … vn 产 纯 收 入 m1 m2 … mn 值 合 计 z1 z2 … zn 总产品价值 x1 x2 … xn

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最终产品是指本年内不再加工,可直接提供给人们消费或积累或出口的产品; 本年内需再加工的产品称为中间产品;纯收入是指利润与缴税款; 净产值是指劳动报酬与纯收入之和,也即总产值减去中间消耗; 价值型投入产出表以货币单位为计量单位; 总产品是指每个部门的全部产品,在价值型投入产出表中,也即是每个部门的总产值. 投入产出表主要由三大部分组成.

第一部分是表中左上部分,部门间流量xij .我们把国民经济分解为n个部门,每个部门都有双重身分.一方面,它在生产过程中要消耗各部门的产品.另方面,它的产品也要分配给各部门使用.用xij表示部门j在本年度生产过程中对部门i的产品的消耗价值量.也即是本年度内部门i分配给部门j的产品价值量.称为部门间流量.例如 x23=560(万元),表示本年度内生产部门2分配给生产部门3的产品价值量有560(万元);同时,也说明本年度内生产部门3消耗了生产部门2提供的560(万元)的产品.

第二部分是表中右上部分,最终产品yi. yi表示部门i的总产值扣除分配给各部门作中间消耗的产品后的剩余量. 第三部分是表中左下部分,净产值Zj. 设部门j的劳动报酬为vj,纯收入为mj,则zj?vj?mj,j =1,2,…,n.

另外,部门j的总产值记为xj,j=1,2,……,n. 投入产出表具有两个平衡关系:

总产品=中间产品+最终产品 总产值=中间消耗的价值+净产值

由此获得两个平衡方程 分配平衡方程

?xj?1nij?yi?xi , i=1,2,……,n ,(6.1.1)

反映部门i的分配情况.

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消耗平衡方程

?xi?1nij?zj?xj ,j=1,2,……,n , (6.1.2)

反映部门j的消耗情况.

从(6.1.1)与(6.1.2)两边求和得综合平衡方程

?y??zii?1j?1mnj , (6.1.3)

6.1.2 直接消耗系数

为了更深入地研究各部门、生产与消耗的关系,引入直接

消耗系数的概念. 部门j所生产的单位价值的产品对部门i的产品的直接消耗量为

aij?xijxj i,j=1,2,3……,n (6.1.4)

称为部门j对部门i的直接消耗系数,而A?(aij)n?n称为

直接消耗系数矩阵,aij的大小在很大程度上反映出部门j对部门i的依赖程度.

从(6.1.4)得xij?aijxj,把它代入(6.1.1)得(6.1.5)

?aj?1nijxj?yi?xi i=1,2,3….,n (6.1.5)

设X?(x1,x2,...,xn)T , Y?(y1,y2,...,yn)T,得 AX+Y=X 即 (I-A)X=Y 再由(6.2)得

(?aij)xj+zj=xj

i?1n (6.1.6)

j=1,2…..,n (6.1.7)

1-?aij=

i?1nzjxj>0 (6.1.8)

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可见aij具有性质: (1)

0?aij?1,

n(2)?aiji?1(j=1,2,..,n), ?1 即A矩阵每列的列和均小于1.

以下我们证明一个结论. 定理6.1.1

?I?A?必存在.

?1证明:(反证法)设 |I-A|=0 ,则I-A各行向量线性相关

从而有不全为0的系数d1,d2,.....,dn,使

?1?a11.?a1k..?..??d1,d2,..dk,dn? ??ak1.1?akk.???an1.?ank..?a1n?..????0,0,..,0? .?akn??.1?ann?令 dk?max{di,1?i?n},则dk上述方程组中第k个方程为

?0 (?di不全为0)

?d1a1k?d2a2k?.....?dk?1?akk?....?dnank?0

解出 dk??aikdi

i?1ndk??ai?1nikdi??aikdi?dk ?aik?dk (??aik?1)

i?1i?1i?1nnn?dk?dk, 矛盾,说明I?A?0,??I?A??1必存在.证毕.

从而(6.1.6)可写成

X??I?A?Y

?1(6.1.9)

模型(6.1.9)的作用.此式当然是已知A与Y,求X,但你可能会说必须先有X才能求出A. 通常的做法是利用上一年的直接消耗系数矩阵A略作修改(常用RAS方法修改A)后,作为本年度的A,再给出本年度的最终需求Y,进而求出本年

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度各部门的总产值X,以此为生产计划的依据. 6.1.3完全消耗系数

定理6.1.2 设A是直接消耗系数矩阵,C?(I?A)?1?I,则C?0. 证明: 先定义一个矩阵函数(称为矩阵范数)

N(A)?max?aij,

1?j?ni?1n(?aikakj)?max?(?aik)akj?N(A)(max?akj)?(N(A))2 则N(A2)?max?jjjikkik 一般地,由数学归纳法可得N(Ak)?(N(A))k, (k=1,2,…).

0??aij?1 , ?0?N(A)?1, ?(N(A))k?0 ,(k??)

i从而Ak?0(零矩阵)(k??), 又因(I?A?A2???Ak)(I?A)?I?Ak?1 令k??, 得(I?A?A2?A3??)(I?A)?I.

?I?A?A2?A3???(I?A)?1

?C?(I?A)?I?A?A?A????Ak

?123k?1??a?0. ??Ak?0, ?C?0. ijk?1?证毕.

由(6.1.9)得 X?(I?A)?1Y?(C?I)Y?CY?Y 0?0)T,并设C?(Ckj)n?n, 则 特别令 Y?(0?01j??C1j???X??Ckj????Cnj??0??0??0??????????C1j??????0??0?????0????1???1???Ckj???1? ??0??0?????0????C????????????0??0??nj??0???????即

??Ckj (k?j)xk??

C?1 (k?j)??jj, (6.1.10)

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数学模型第六章

第六章代数模型线性代数在许多问题的解决中起着十分关键的作用,本章主要讨论以向量和矩阵为工具的数学模型.§6.1投入产出模型6.1.1投入产出表及其相关概念在对某地区作经济分析时,把该地区视作一个国民经济系统,把其分为若干个部门.各个经济部门在进行经济活动时的消耗称为投入,例如:原材料,设备,能源等.而各
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