3.3.2 函数的极值与导数
[学习目标] 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
知识点一 极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
思考 极大值一定大于极小值吗？ 答案 不一定.
知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.
题型一 求函数的极值
2x
例1 求函数f(x)＝2－2的极值.
x＋1解 函数的定义域为R.
2?x2＋1?－4x22?x－1??x＋1?
f′(x)＝＝－.
?x2＋1?2?x2＋1?2令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) 由上表可以看出：
当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3； 当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1. 反思与感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值. 跟踪训练1 已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( ) A．－4 C．4 答案 D
解析 ∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2. 当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；
当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2. 题型二 利用函数极值确定参数的值
例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1. (1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
B．－2 D．2
(－∞，－1) － ↘ －1 0 －3 (－1,1) ＋ ↗ 1 0 －1 (1，＋∞) － ↘ ∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
?－3a＝0，①由根与系数的关系，得?c
?3a＝－1，②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. ③ 13
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－. 2213
(2)f(x)＝x3－x，
22
333
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，
222当x<－1或x>1时，f′(x)>0， 当－1 2b ∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数， ∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1， 当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1. 反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性. 跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： (1)x0的值； (2)a，b，c的值. 解 (1)由图象可知，在(－∞，1)上f′(x)＞0，在(1,2)上f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1. (2)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5， 3a＋2b＋c＝0，?? 得?12a＋4b＋c＝0，??a＋b＋c＝5， 题型三 函数极值的综合应用 例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围. 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0， 解得x1＝－2，x2＝2. 因为当x>2或x＜－2时，f′(x)＞0； 当－2＜x＜2时，f′(x)＜0. 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2). 当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42； 当x＝2时，f(x)有极小值5－42. (2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示. 解得a＝2，b＝－9，c＝12. 所以，当5－42＜a＜5＋42时， 直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根. 反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数. 跟踪训练3 设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a. (1)求f(x)的极值； (2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2. (2)因为f(x)在(－∞，－1)内单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞，f(x)在(1，＋∞)内单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2＞a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2，如图1所示.当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2，如图2所示. 综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰有两个实数根.
2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：3.3.2 函数的极值与导数
