1991年全国统一高考数学试卷（文科）
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．（3分）（1991?全国）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2．（3分）（1991?全国）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（ ）
A．y2=8（x+1） B．y2=﹣8（x+1） C．y2=8（x﹣1）
D．y2=﹣8（x﹣1）
3．（3分）（1991?全国）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（ ） A．
B．π
C．2π D．4π
4．（3分）（1991?全国）P（2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是（ ） A．（5，2） B．（2，﹣5） C．（﹣5，﹣2）
D．（﹣2，﹣5）
5．（3分）（1991?全国）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ） A．12对
B．24对
C．36对
D．48对
）的图象的一条对称轴的方程是（ ）
6．（3分）（1991?全国）函数y=sin（2x+A．x=﹣
B．x=﹣
C．x=
D．x=
7．（3分）（1991?全国）6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（ ） A．垂心
B．重心
C．外心
D．内心
8．（3分）（1991?全国）已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（ ） A．5
B．10 C．15 D．20
（x∈R，且x≠1），那么它的反函
9．（3分）（1991?全国）9、已知函数y=数为（ ）
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A．y=C．y=
（x∈R，且x≠1） B．y=（x∈R，且x≠﹣）
（x∈R，且x≠6）
（x∈R，且x≠﹣5）
D．y=
10．（3分）（1991?全国）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） A．140种 B．84种
C．70种
D．35种
11．（3分）（1991?全国）11、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ） A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 12．（3分）（1991?全国）（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
[n（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣
）]等于
13．（3分）（1991?全国）如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
14．（3分）（1991?全国）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（ ） A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5 C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣5
15．（3分）（1991?全国）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
16．（3分）（1991?全国）双曲线以直线x=﹣1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一焦点的坐标是 ． 17．（3分）（1991?全国）已知sinx=
，则sin2（x﹣
）= ．
的
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18．（3分）（1991?全国）不等式lg（x2+2x+2）＜1的解集是 ． 19．（3分）（1991?全国）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a＞1，那么a= ．
20．（3分）（1991?全国）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是
、2．如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、
β、γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ= ．
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．（8分）（1991?全国）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值． 22．（8分）（1991?全国）已知复数z=1+i，求复数
的模和辐角的主值．
23．（10分）（1991?全国）如图，在三棱台A1B1C1﹣ABC中，已知A1A⊥底面ABC，A1A=A1B1=B1C1=a，B1B⊥BC，且B1B和底面ABC所成的角45°，求这个棱台的体积．
24．（10分）（1991?全国）设{an}是等差数列，bn=（）an．已知b1+b2+b3=b1b2b3=．求等差数列的通项an．
25．（12分）（1991?全国）设a＞0，a≠1，解关于x的不等式
，
26．（12分）（1991?全国）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
．求椭圆的方程．
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1991年全国统一高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．（3分）（1991?全国）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．
【分析】由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．
【解答】解：∵sinα=且α是第二象限的角， ∴∴故选：A．
【点评】掌握同角三角函数的基本关系式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．本题是给值求值．
2．（3分）（1991?全国）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（ ）
A．y2=8（x+1） B．y2=﹣8（x+1） C．y2=8（x﹣1） 【考点】K7：抛物线的标准方程．
， ，
D．y2=﹣8（x﹣1）
【专题】48 ：分析法．
【分析】先根据定点坐标代入即可排除A，B，再由抛物线的开口方向可确定答案．
【解答】解：根据题意顶点在（1，0），可知P=4，可排除A，B 又因为开口方向是向x轴的负半轴，排除C．
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故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．
3．（3分）（1991?全国）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（ ） A．
B．π
C．2π D．4π
【考点】H1：三角函数的周期性．
【分析】观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式． 【解答】解：∵y=cos4x﹣sin4x =cos2x﹣sin2x =cos2x， ∴T=π， 故选：B．
【点评】对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．
4．（3分）（1991?全国）P（2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是（ ） A．（5，2） B．（2，﹣5） C．（﹣5，﹣2） 【考点】Z1：对称图形．
D．（﹣2，﹣5）
【专题】11 ：计算题．
【分析】点关于直线对称，首先要看直线方程，根据直线方程求出x，再求出y，代值计算即可． 【解答】解： x+y=0 y=﹣x x=﹣y
所以对称点是（﹣5，﹣2） 故选：C．
【点评】对称问题是数形结合思想的应用，学生对点及直线的对称要和图形结合
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1991年全国统一高考数学试卷(文科)
