高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第二节一元二次不等式及其解法 理

第二节 一元二次不等式及其解法

知识梳理

一、一元二次不等式的概念

1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

2．使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集．

二、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 Δ＝b－4ac 2Δ>0 Δ＝0 Δ<0 函数y＝ax＋bx＋c (a>0)的图象 2 一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a>0)的根 一元二次 不等式2 有两相等实根 没有实根 有两相异实根 b－b±Δx1，x2＝ x1＝x2＝－2a 2a{x|xx2} (x1＜x2) ???b?x?x≠－2a???ax＋bx＋c>0 (a>0) 2 ??? ??R

的 解集 ax2＋bx＋c<0(a>0) {x|x1

一元二次不等式ax＋bx＋c<0(a≠0)的解集的确定受a的符号和b－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象，求得不等式的解集．

若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax＋bx＋c＞0(或＜0)(其中

2

2

2

2

a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2(x1

＝b－4ac>0，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求得解集．

五、高次不等式与分式不等式的解法

1．高次不等式的解法：先将最高次项的系数化为正数，然后分解因式，将相应

2

方程的所有根画在数轴上，采取“数轴标根”法(或称穿针引线法)得出不等式的解集．

数轴标根法的操作过程：

(1)把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是0的形式； (2)各因式中x的系数全部变为1，约去偶次因式；

(3)把各个根从小到大依次排好标出，从数轴最左端向右端依次取根判断，并“引线”；

(4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根)是否在解集内．

2．分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，通过“穿针引线”法得出不等式的解集．

f(x)f(x)

>0(<0)可转化为f(x)g(x)>0(<0)；≥0(≤0)可以转化为g(x)g(x)

??f(x)g(x)≥0?

?g(x)≠0.?

≤0，

,

基础自测

1．不等式x>x的解集是( ) A.(－∞，0) B.(0，1) C.(1，＋∞)

D.(－∞，0)∪(1，＋∞)

解析：由x>x得x(x－1)>0，所以解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.

22

答案：D

2．(2013·青海质检)不等式x－4>3|x|的解集是( ) A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．(－∞，－4)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：因为|x|－3|x|－4>0，所以(|x|－4)(|x|＋1)>0，所以|x|>4，得x>4或

2

2

x<－4，故选A.

答案：A 3．不等式解析：∵

x－1

>1的解集是________________． x＋2

x－1x－1－3

>1?－1>0?>0， x＋2x＋2x＋2

∴x＋2<0?x<－2. 答案：{x|x<－2}

4．(2012·江西卷改编)若全集U＝{x∈R|x≤4}，则集合A＝{x∈R||x＋1|≤1}的补集?UA为__________．

解析：因为全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，所以?UA＝{x∈R|0

答案：{x|0

2

??1??x＜－1或x＞1．(2013·安徽卷)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x?2???

??

?，??

则f(10)>0的解集为( )

A．{x|x<－1或x>－lg 2} B．{x|－1－lg 2} D．{x|x<－lg 2}

x?解析：由已知条件知不等式f(x)＞0的解集为x?－1＜x＜

?

111xx＜，但10＞0，所以有0＜10＜，解得x＜lg ＝－lg 2. 222

答案：D

1

2

，所以－1＜10

xx－1

2．(2012·重庆卷)不等式≤0的解集为( )

2x＋1

?1??1?A.?－，1? B.?－，1? ?2??2?

1?1???C.?－∞，－?∪[1，＋∞) D.?－∞，－?∪[1，＋∞)

2?2???

?x－12x＋1?x－1

解析：≤0??

2x＋1??2x＋1≠0，

≤0，

1

?－

2

答案：A

1．(2013·韶关二模)已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|＞2}，B＝{x|x－6x＋8＜0}，则?UA∩B等于( )

A．(2,3) B．[2,3] C．(2,3] D．(－2,3]

解析：A＝{x|x＞3或x＜－1}，?UA＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以(?

U2

A)∩B＝(2,3]，故选C.

答案：C

?－x＋4x－10，x≤2，?

2．已知函数f(x)＝?

??log3x－1－6，x>2，

2

若f(6－a)>f(5a)，则实数a2

的取值范围是________．

解析：∵f (x)为定义在R上的单调递增函数，∴6－a>5a，即a＋5a－6<0，解得－6

答案：(－6,1)

2

2