浅谈韦达定理的应用
齐贤学校 匡双霞 【趣题引路】
韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你了解韦达定理吗? 0a?0）韦达定理：实系数一元二次方程ax2?bx?c?（存在实数解x1，x2，bc那么x1?x2?-，x1x2?。这是在初中时韦达定理的定义，但对于高中时应aa用就更为广阔，由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积，两端比较系数即得韦达定理，所以韦达定理在复数范围内同样适用。而对于高次方程，韦达定理更有妙用。这里我们只谈谈在初高中时韦达定理的应用 。 在初中数学的学习中，韦达定理及其逆定理的应用是很广泛的，主要有如下的应用：
1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。
2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。 3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。 4. 一元二次方程的验根。
5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。 6. 与判别式的综合应用。
【中考真题欣赏】
例1 (2001年河南省)已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数
根,?y1,y2是关于y的方程y+(2-b)y+4=0的两个根,求以y1，y2为根的一元二次方程.
解析 ∵关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根, ∴ △ = (4b)2 -4×4×7b=0, 即b2-7b=0. ∴b1=0, b2=7.
当b=0时,,关于y的方程化为y2+2y+4=0, 因△=4-16=-12<0,方程无解.
当b=7时,关于y的方程可化为y2-5y+4=0,
2
解得y1=4,y2=1.
则y1+y2=3，y1·y2=2 ∴ 以y1，y2为根的一元二次方程为y2-3y+2=0.
点评
本题既考查了判别式,韦达定理的逆定理,又考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视,应重视.
例2 (2001年四川省)已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0?的两个非零实数根,问x1与x2能否同号?若能同号,求出相应的m的取值范围;?若不能同号,请说明理由.
解析 ∵关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0有两个非零实数根,
2 2
∴△ = [4(m-1)]-4×4m=-32m+16≥0,
1 ∴m ≤ .
2 又x1,x2是方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个实数根.
1 ∴x1+x2=-(m-1),x1·x2=m2
4 假设x1,x2同号,则有两种可能: ①若x1>0,x2>0,则
??(m?1)?0,?x1?x2?0? ?即?12
m?0.?x1x2?0??4 ∴m<1且m≠0,此时,m≤ ②若x1<0,x2<0则有
1且m≠0; 2??(m?1)?0,?x1?x2?0? ? 即?12
m?0.?x1x2?0??41时方程才有实数根, 2 ∴ 此种情况不可能.
而m≤
综上所述,当m的取值范围为m≤
1且m≠0时,方程的两实根同号. 2点评：
存在性问题的探索一般是先假设存在,然后据已知和相关知识进行推理,若推理的结论与题设或概念、定理、事实等相矛盾,则假设不成立,从而不存在,?反之则存在.
【难题妙解】
ab2?b2?12004
例1：已知：①a+2a-1=0,②b-2b-1=0且1-ab≠0,求()的值。
a2
4
2
2
解析 由①知1+2 即(
11-=0, aa2121)-2·-1 =0,③ aa22
由②知(b)-2b2-1=0,④
1 ∴,b2为一元二次方程x2-2x-1=0的两根.
a11 由韦达定理,得 +b2=2, ·b2=-1.
aa12ab2?b2?1b22004
∴=[(+b)+ ]=(2-1)2004=1.
aaa点评：
本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,利用韦达定理求解,?难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab2≠0,而把a,-b2看作方程x2+2x-1=0的两根来求解.
2
例2： 已知关于x的方程x+2mx+m+2=0,求:(1)m为何值时,?方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,?方程的两个根一个大于1,另一个小于1. 解析 (1)据题意知,m应当满足条件
???4m2-（4m?2）?0，① ? ② ?x1x2?m?2?0?(m?1)(m?1)?0, 即 ?
?m??2. 由①,得m>2或m<-1, ∴ m <-2.
(2)m应当满足的条件是
???4m2-（4m?2）?0，? ?x1?x2?-2m?0.
?xx?m?2?0，?12?m?2或m??1,? 即?m?0,
?m??2.? ∴-2?m?-1.
???4m2?4(m?2)?0, (3)m应当满足的条件是?
?(x1?1)(x2?1)?0.?m?2或m??1, 即?
?m?2?(?2m)?1?0.3
?m?2或m??1, ∴?
?m??1. ∴m <-1. 点评：
若已知含字母系数的一元二次方程的根的范围,求字母系数的范围,应根据已知和韦达定理,灵活地将字母系数应满足的条件一一列出来,然后再求解.
【好题妙解】
例 已知△ABC的边长分别为a, b, c,且a>b>c,2b= a + c, b为正整数,若a2+b2+c2=84,求b的值. 解析 依题设,有 a+c=2b, ① a2+b2+c2=84. ②
②可变为(a+c)2-2ac=84-b2, ③
5b2?84 ①代入③,得 ac=, ④
25b2?84 ∴a、c是关于x的一元二次方程x-2bx+=0的两个不相等的正实数
22
根.
?5b2?842??4b?4??0,??2 ?2 ?5b?84?0.??2 即16 又b为正整数,故b=5. 点评： bc，x1·x2=,那么x1·x2?是一aa元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,此解的独特之处在于利用a+c=2b,将 韦达定理的逆定理是:如果x1,x2满足x1+x2=- 5b2?84a+b+c=84?转变为ac=,从而构造韦达定理逆定理所需的条件. 22 2 2 再看看你能解下面的题吗？ 1、已知方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求另一根及k值。 2、已知x1、x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p、q的值。（1）x1=1，x2=2；（2）x1=3，x2=－6；（3）x1=7，x2=－7；（4）x1=－2+3，x2=－2－3。 3、设x1、x2是方程2x2+4x－3=0的两个根，求（x1+1）（x2+1）的值。 4、设x1、x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（1）x12x2+x1x22；（2）（x1+ 1111）（x2+）；（3）x1?x2；（4）+；x2x1x1x2（5） x1x2? x2x1而在高中数学中，更是把韦达定理的应用扩充到复数的领域，其中在高二第二学期课本13.6 实系数一元二次方程中有这样一道题： 例、已知方程x2?px?1?0(p?R)的两根为x1、x2，若x1?x2?1，求实数p的值. 分析：要求实数p的值，即要利用已知条件x1?x2?1，从而应考虑x1、x2为实根还是虚根，因此，应对??0和??0讨论. 解：方法一（书上解法）： （1）当??p2-4?0，即p?2或p?-2时， p-p2-4p?p2-4 x1?，x2?，22p-p2-4p?p2-4x1-x2?-?p2-4， 22由p2-4?1，得p?5或p?-5。 （2）当??p2-4?0，即-2?p?2时， p-4-p2ip?4-p2i x1?，x2?，22p-4-p2ip?4-p2ix1-x2?-?22由4-p2?1，得p?3或p?-3. 综上所述，p??5或p??3。 现在我们采用韦达定理来解答这道题看看： 因为1?x1?x2?(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?p?4， 所以p??3或p??5. 5 4-p2i?4-p2。2222 这样简单方便，并且可以避免对??0与??0的讨论.同时把1可以拓展到正实数m。 练习一下： 111、若?，?是一元二次方程2x2?x?3?0的两个根，求?； ??0m?R）2、已知关于x的方程x2?4x?m?（的两个根为?、?，且?-??2， 求m的值。 当然韦达定理在解析几何以及高次方程中有着重大作用，比如求弦长问题，函数图像问题等等，这里就不再具体谈了。总而言之，韦达定理常用的几个公式： 22222x1+x2=-（x1+x2）－2x1x2，（x1－x2）=（x1+x2）－4x1x2， x13+x23=-（x1+x2）3－3x1x2（x1+x2），x1?x2??x1?x2?2222??x1?x2?2?4x1x2， x1x22211x1?x2??x1x2x1x2， 1x12?1x22?x1?x2x1x22??x1?x2?2?2x1x2， x1?x2??x1?x2?2?x1?x2?2x1x2， 2222 ?x?x??2x1x2 xxx?x2（x1+k）（x2+k）=x1x2+（x1+x2）+k，1?2?1?12x2x1x1x2x1x2在方程论中有着广泛的应用，并且 x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?2?4x1x2在 求弦长经常用到。所以我们常常讲到要了解，懂得，掌握，然后能灵活运用所学 知识， 这样才能真正的学好数学。 2009年5月
浅谈韦达定理的应用(105620)
