，
故B是存在的充要条件．
对于C，
，
注意到，所以若存在，则由右边推知左边极限存在且为零．若左边极限存在，则由
知上式左边极限可能不存在，故可能不存在．
至于D，
，
若存在，上述右边拆项分别求极限均存在，保证了左边存在．而左边存在，不能保证右边拆项后极限也分别存在．故选B．
例10（99研） 设，其中是有界函数，则在处（ ）． A．极限不存在． B．可导． C．连续但不可导． D．极限存在但不连续．
解 由于
===， ===，
故选B．
例11 已知在处可导且．求．
分析 题目条件是在处可导，必然有在处连续，从而可知该极限属于型．
解 在处可导．则
且当充分大时．故 =
= = ==．
注 此题用到当时，． 例12 讨论函数的可导性．
分析 的表达式含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号，本质上为分段函数．
解法1 由可得或．由得．于是
，
可求得， 因为
==， =，
所以，即在处可导．而
==，
==，
则在处不可导．
综上所述在处不可导，在上均可导．
解法2 依题意，是初等函数，且仅在和处可能不可导．故只需讨论在这两点的情形．
（1）时，由于
，
故．
（2）时，由于
不存在，
故只在处不可导，在上均可导．
解法3 由于
，
由导数定义可知，在处不可导，而在处一阶可导，因此，在任意点处均可导，再只需考查的可导性．由导数定义可知，仅仅在处不可导，故仅在处不可导，在上均可导．
例13 设，讨论的可导性．
分析 先应求出的表达式．本质上为分段函数． 解 由于
，
则有
．
显然当或时，函数可导．下面讨论时的可导性．由于
===， ===，
于是，从而可知仅在处不可导．
例14（05研） 设函数，则在内（ ）．
A．处处可导． B．恰有一个不可导点． C．恰有两个不可导点． D．至少有三个不可导点． 解 由于
==
易求得
，
则
， ，
故为不可导点．同理也为不可导点．故选C． 例15 设的定义域为，其中
，，
试讨论的可导性．若可导，求其导数．
分析 本质上是分段函数即
，
由此可知需先解出不等式
与 ．
解 由即解得，此时． 而由即解得，此时．则有
且
当时，
==， ==，
即，所以在处不可导．故
．
例16 设函数，若要为可导函数，应如何选择？ 解 显然当及时，可导，故要使为可导函数，只需使其在处可导．由可导与连续的关系，应该首先选择，使其在连续．因
，，，
故当即时，在连续．又
，
，
因此当时，存在，从而为可导函数． 例17 设，．求，，．
分析 三个函数中都有导数记号，其中表示函数对求导，求得后再与复合；表示函数对求导，即对求导，而；表示复合函数关于自变量求导．
解 ，．则
==，=，
以及
==．
例18 设．求．
最新高等数学课后习题答案
