概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第五章

第五章 数理统计的基础知识

5.1 数理统计的基本概念

习题1

已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布(λ未知), X1,X2,?,Xn为X的样本，则().

(A)1n∑i=1nXi-λ2是一个统计量； (B)1n∑i=1nXi-E(X)是一个统计量； (C)X1+X2是一个统计量； (D)1n∑i=1nXi2-D(X)是一个统计量.

解答： 应选(C).

由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.(A)(B)(D)中均含未知参数.

习题2

观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位(单位：cm), 得到如下表中所列的数据. 按区间[70,80),[80,90),?,[150,160), 将100个数据分成9个组，列出分组数据计表(包括频率和累积频率), 并画出频率累积的直方图. 解答： 分组数据统计表

组序号 1 组限 组中值 组频率 组频率% 累计频率% 组序号 组限 组中值 组频率 组频率% 累计频率% 6 7 8 9 2 3 4 5 70～80～90～100～110～120115262667 8075333 90859912 10095131325 110105161661 120～130125202487 130～1401357794 140～1501454498 150～16015522100 频率直方图见图(a),累积频率直方图见图(b). 习题3 测得20个毛坯重量(单位：g),列成如下简表： 毛坯重量 185187192195200202405206 频数 11111211

毛坯重量 207208210214215216218227 频数 21112121 将其按区间[183.5,192.5),?,[219.5,228.5)组，列出分组统计表，并画出频率直方图. 解答： 分组统计表见表 组序号 组限 组中值 组频数 组频率/% 12345 183.5,～192.5192.5,～201.5201.5,～210.5210.5,～219.5219.5,～228.518819720621522432861151040305 频率直方图见下图 习题4 某地区抽样调查200个居民户的月人均收入，得如下统计资料： 月人均收入(百元) 5-66-77-88-99-1010-1111-12 合计 户数 18357624191414 200 求样本容量n,样本均值Xˉ，样本方差S2. 解答： 对于抽到的每个居民户调查均收入，可见n=200. 这里，没有给出原始数据，而是给出了整理过的资料(频率分布), 我们首先计算各组的“组中值”，然后计算Xˉ和S2的近似值： 月人均收入(百元) 5-66-77-88-99-1010-1111-12 合计 组中值ak 户数fk 5.56.57.58.59.510.511.5 18357624191414 - 200 Xˉ=1n∑kakfk=1200(5.5×18+?+11.5×14)=7.945, S2≈1n-1∑k(ak-Xˉ)2fk=1n-1∑kak2fk-Xˉ2 =1199(5.52×18+?+11.52×14)-7.9452 ≈66.0402-63.123025=2.917175. 习题5 设总体X服从二项分布B(10,3100),X1,X2,?,Xn为来自总体的简单随机样本， Xˉ=1n∑i=1nXi与Sn2=1n∑i=1n(Xi-Xˉ)2 分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E(Xˉ),E(S2).

解答：

由X～B(10,3100), 得

E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=2911000,

所以

E(Xˉ)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.

习题6

设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料

日售出台数k 2 天数fk 3 4 5 6 合计 20 30 10 25 15 100 求样本容量n,经验分布函数Fn(x). 解答： (1)样本容量n=100; (2)经验分布函数 Fn(x)={0,x<20.20,2≤x<30.50,3≤x<40.60,4≤x<50.85,5≤x<61,x≥6. 习题7 设总体X的分布函数为F(x), 概率密度为f(x),X1,X2,?,Xn为来自总体X的一个样本，记 X(1)=min1≤i≤n(Xi),X(n)=max1≤i≤n(Xi), 试求X(1)和X(n) 各自的分布函数和概率密度. 解答： 设X(1)的分布函数和概率密度分别为F1(x)和f1(x), X(n)的分布函数和概率密度分别为Fn(x)和fn(x), 则 Fn(X)=P{X(n)≤x}=P{X1≤x,?,X(n)≤x} =P{X1≤x}P{X2≤x}?P{Xn≤x}=[F(x)]n, fn(x)=F′n(x)=n[F(x)]n-1f(x), F1(x)=P{X(1)≤x}=1-P{X(1)>x}=1-P{X1>x,X2>x,?,Xn>x} =1-P{X1>x}P{X2>x}?P{Xn>x} =1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]?[1-P{Xn≤x}] =1-[1-F(x)]n, F′1(x)=f1(x)=n[1-F(x)]n-1f(x). 习题8 设总体X服从指数分布e(λ),X1,X2是容量为2的样本，求X(1)，X(2)的概率密度. 解答： f(x)={λe-λx,x>00,其它, F(x)={1-e-λx,x>00,x≥0, X(2)的概率密度为

f(2)(x)=2F(x)f(x)={2λe-λx(1-e-λx),x>00,其它,

又X(1)的概率密度为

f(1)(x)=2[1-F(x)]f(x)={2λe-2λx,x>00,其它.

习题9

设电子元件的寿命时间X(单位：h)服从参数λ=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求：

(1)没有元件在800h之前失效的概率； (2)没有元件最后超过3000h的概率.

解答：

(1)总体X的概率密度f(x)={(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它,

分布函数F(x)={1-e-0.0015x,x>00,其它,

{没有元件在800h前失效}={最小顺序统计量X(1)>800}, 有

P{X(1)>800}=[P{X>800}]6=[1-F(800)]6

=exp(-0.0015×800×6)=exp(-7.2)≈0.000747.

(2){没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X(6)<3000}

P{X(6)<3000}=[P{X<3000}]6=[F(3000)]6 =[1-exp{-0.0015×3000}]6=[1-exp{-4.5}]6 ≈0.93517.

习题10

设总体X任意，期望为μ,方差为σ2, 若至少要以95%的概率保证∣Xˉ-μ∣<0.1σ, 问样本容量n应取多大？ 解答：

因当n很大时，Xˉ-N(μ,σ2n), 于是

P{∣Xˉ-μ∣<0.1σ}=P{μ-0.1σ

≈Φ(0.1σσ/n)-Φ(-0.1σσ/n)=2Φ(0.1n)-1≥0.95,

则Φ(0.1n)≥0.975, 查表得Φ(1.96)=0.975, 因Φ(x)非减，故0.1n≥1.96,n≥384.16, 故样本容量至少取385才能满足要求.

5.2 常用统计分布

习题1

对于给定的正数a(0

因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而χ2分布的密度大于等于零，所以(A)和(C)是对的.(B)是错的. 对于F分布，若F～F(n1,n2), 则

1-a=P{F>F1-a(n1,n2)}=P{1F<1F1-a(n1,n2)=1-P{1F>1F1-a(n1,n2)

由于1F～F(n2,n1), 所以

P{1F>1F1-a(n1,n2)=P{1F>Fa(n2,n1)=a,

即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是对的. 习题2(1)

2.设总体X～N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (1)X1-X2X32+X42; 解答：

因为Xi～N(0,1),i=1,2,?,n, 所以：

X1-X2～N(0,2), X1-X22～N(0,1), X32+X42～χ2(2),

故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422～t(2). 习题2(2)

2.设总体X～N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (2)n-1X1X22+X32+?+Xn2; 解答：

因为Xi～N(0,1),∑i=2nXi2～χ2(n-1), 所以

n-1X1X22+X32+?+Xn2=X1∑i=2nXi2/(n-1)～t(n-1).

习题2(3)

2.设总体X～N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (3)(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2. 解答：

因为∑i=13Xi2～χ2(3),∑i=4nXi2～χ2(n-3), 所以：

(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/(n-3)～F(3,n-3).

习题3