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全国2024年10月自学考试线性代数(经管类)试题
课程代码：04184
说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=( ) A.-8 C.2
?1?2.设矩阵A=???1??,B=(1,1),则AB=( )
??B.-2 D.8
A.0 ?1?C. ???1??
??B.(1,-1) 1??1D. ???1?1??
??3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A.AB-BA C.AB
B.AB+BA D.BA
?12?-1
4.设矩阵A的伴随矩阵A*=??34??,则A= ( )
??
A.?1 2?4?3????21?? ???12???34?? ??
B. ?1 21 2?1?2????34?? ???42???31?? ??C. ?1 2D. ?5.下列矩阵中不是初等矩阵的是( ) ．．
1
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?101???A.?010? ?000????100???C. ?030?
?001????001???B. ?010?
?100????100???D. ?010?
?201???6.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有( ) A.A+B可逆 C.A-B可逆
B.AB可逆 D.AB+BA可逆
7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( ) A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示
C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一
8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( ) A.0 C.2
B.1 D.3
?2x1?x2?x3?0?9.设齐次线性方程组?x1?x2?x3?0有非零解,则?为( )
??x?x?x?023?1A.-1 C.1
B.0 D.2
10.设二次型f(x)=xTAx正定,则下列结论中正确的是( ) A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
2
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11.行列式
01的值为_________. 12?12?12.已知A=??23??,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.
???1?3??11?3??13.设矩阵A=?,P=??24??01??,则AP=_________. ????14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=_________.
15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.
16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且?1??3??????2??5??1???,?1??3???,则该线性方程组的通解是_________.
37?????4??9??????1??1?????17.已知P是3阶正交矩,向量???3?,???0?,则内积(P?,P?)?_________.
?2??2?????18.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________. ?12?19.与矩阵A=??03??相似的对角矩阵为_________.
???1?2?T
20.设矩阵A=???2k??,若二次型f=xAx正定,则实数k的取值范围是_________.
??三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)
0120101221010210?0?10???1?20?????22.设矩阵A=?100?,B??2?10?,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.
?001??000?????21.求行列式D=的值.
3
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?1??1??2???2?????????23.若向量组?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩为2,求k的值.
?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.设矩阵A??1?10?,b??1?.
??121??0?????(1)求A-1;
(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出. 25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求 (1)矩阵A的行列式及A的秩.
(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.
?x1?2y1?2y2?y3?26.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换?x2?2y1?2y2?y3所得的标
?x?2y3?3准形.
四、证明题(本题6分)
27.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是?1.
4
10月全国自考线性代数(经管类)试题及答案解析
