2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-函数与导数
1.〔天津文〕19、〔本小题总分值14分〕函数f(x)?4x3?3tx2?6tx?t?1,x?R，其中t?R、 〔Ⅰ〕当t?1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； 〔Ⅱ〕当t?0时，求f(x)的单调区间；
〔Ⅲ〕证明：对任意的t?(0,??),f(x)在区间(0,1)内均存在零点、
【解析】〔19〕本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线
方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，总分值14分。 〔Ⅰ〕解：当t?1时，f(x)?4x3?3x2?6x,f(0)?0,f?(x)?12x2?6x?6
f?(0)??6.所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y??6x.
〔Ⅱ〕解：f?(x)?12x2?6tx?6t2，令f?(x)?0，解得
t
x??t或x?.2
因为t?0，以下分两种情况讨论：
变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表： tt?0,则??t,当x2〔1〕假设
x t? ????,?2??+ ?t?,?t???2?- ??t,??? + f?(x) f(x)
所以，f(x)的单调递增区间是
?的单调递减区间是。
t??t????,?,??t,???;f(x)?,?t?2???2?〔2〕假设
t，当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表：
t?0,则?t?2x ???,t? + t? ???t,?2??- ?t?,?????2?+ f?(x)
f(x)
的单调递减区间是
所以，f(x)的单调递增区间是
t????,?t?,??,???;f(x)?2?t? ???t,?.?2?〔Ⅲ〕证明：由〔Ⅱ〕可知，当t?0时，f(x)在
?调递增，以下分两种情况讨论： 〔1〕当t内单
t?内的单调递减，在?t??0,??,???2???2?2
?1,即t?2时，f(x)在〔0，1〕内单调递减，
f(0)?t?1?0,f(1)??6t2?4t?3??6?4?4?2?3?0.
所以对任意t?[2,??),f(x)在区间〔0，1〕内均存在零点。
时，f(x)在tt?内单调递减，在?t?内单调递增，假?0??1,即0?t?2?0,??,1?22???2?〔2〕当
设
7373?1?t?(0,1],f????t?t?1??t?0.44?2?
f(1)??6t2?4t?3??6t?4t?3??2t?3?0.
所以
?t?f(x)在?,1??2?内存在零点。
假设
7373?t?t?(1,2),f????t??t?1???t?1?0.44?2?
f(0)?t?1?0
所以
内存在零点。
?t?f(x)在?0,??2?
所以，对任意t?(0,2),f(x)在区间〔0，1〕内均存在零点。 综上，对任意t?(0,??),f(x)在区间〔0，1〕内均存在零点。
2.〔北京文〕18、〔本小题共13分〕
函数f(x)?(x?k)ex. 〔Ⅰ〕求f(x)的单调区间；
〔Ⅱ〕求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
【解析】〔18〕〔共13分〕
解：〔Ⅰ〕f?(x)?(x?k?1)e3. 令f??x??0，得x?k?1、
f(x)与f?(x)的情况如下：
x 〔??,k?k〕 —— ↗ k?1 0 〔(k?1,??) + f?(x) f(x)
?ek?1 ↗ 所以，f(x)的单调递减区间是〔??,k?1〕；单调递增区间是(k?1,??) 〔Ⅱ〕当k?1?0，即k?1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增， 所以f〔x〕在区间[0，1]上的最小值为f(0)??k; 当0?k?1?1,即1?k?2时，
由〔Ⅰ〕知f(x)在[0,k?1]上单调递减，在(k?1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为
f(k?1)??ek?1；
当k?1?t,即k?2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)?(1?k)e.
3.(全国大纲文)21、〔本小题总分值l2分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕 ．．．．．．．．．
函数
f(x)?x3?3ax2?(3?6a)x?12a?4?a?R?
〔I〕证明：曲线y?f(x)在x?0处的切线过点〔2，2〕；
〔II〕假设f(x)在x?x处取得极小值，x?(1,3)，求a的取值范围。
00【解析】21、解：〔I〕f'(x)?3x2?6ax?3?6a.
…………2分
由f(0)?12a?4,f'(0)?3?6a得曲线y?f(x)在x?0处的切线方程为
2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-函数与导数
