恒成立问题——参变分离法
一、基础知识：
1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围
2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：?x?1??logax，
21?x?axe?1等 1?x（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
4、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。 （2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。
x?x'例1：已知函数f?x??e?ae，若f(x)?23恒成立，则实数a的取值范围是_______
思路：首先转化不等式，f(x)?e?ae，即ex?'x?xaxae恒成立，观察不等式与?23ex便于分离，考虑利用参变分离法，使a,x分居不等式两侧，a??e恒成立，只需a??e??xx2?23ex，若不等式
???x2?23ex?max，令g?x???e??x2?23e??e?3?x?2?3（解
析式可看做关于ex的二次函数，故配方求最值）g?x?max?3，所以a?3 答案：a?3
例2：已知函数f?x??lnx?_________
思路：恒成立的不等式为lnx?解：lnx?a2，若f?x??x在?1,???上恒成立，则a的取值范围是xa?x2，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法 xa?x2?xlnx?a?x3?a?xlnx?x3，其中x??1,??? x?只需要a?xlnx?x3??max，令g?x??xlnx?x
3g'(x)?1?lnx?3x2 （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将lnx变为
导函数的单调性可分析，为了便于确定g'1x，所以二阶
?x?的符号，不妨先验边界值）
11?6x2?0， g?1???2，g?x???6x?（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会
xx'''简化判断的过程） ?g'?x?在?1,???单调递减，?g'?x??g'?1??0?g(x)在?1,???单调递减
?g?x??g?1???1 ?a??1 答案：a??1
小炼有话说：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号。 例3：若对任意x?R，不等式3x2?2ax?x?3恒成立，则实数a的范围是 ． 4思路：在本题中关于a,x的项仅有2ax一项，便于进行参变分离，但由于x?R,则分离参数时要对x的符号进行讨论，并且利用x的符号的讨论也可把绝对值去掉，进而得到a的范围，3x2?2ax?x?3?33??2ax?3x2?x?，当x?0时，2a??3x?1??，而
4x?min44?3x?1?333?3x??1?23x??1?2 ?2a?2?a?1；当x?0时，不等式恒4x4x4x??3?33???1???3x?????2 ?，而3x?1?4x?max4x4x??成立；当x?0时，2a??3x?1??2a??2?a??1 综上所述：?1?a?1
答案：?1?a?1
小炼有话说：（1）不等式含有绝对值时，可对绝对值内部的符号进行分类讨论，进而去掉绝对值，在本题中对x进行符号讨论一举两得：一是去掉了绝对值，二是参变分离时确定不等号的是否变号。
（2）在求x解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式，替代了原有的构造函数求导出最值的方法，简化了运算。
（3）注意最后确定a的范围时是三部分取交集，因为是对x的取值范围进行的讨论，而无论x取何值，a的值都要保证不等式恒成立，即a要保证三段范围下不等式同时成立，所以取交集。
例4：已知函数f?x??ax??2a?1?x?lnx,a?R,g?x??e?x?1，若对于任意的
2xx1??0,???,x2?R，不等式f?x1??g?x2?恒成立，求实数a的取值范围
思路：f?x?含有参数a，而g?x?为常系数函数，且能求出最值，所以以g?x?为入手点：若f?x1??g?x2?恒成立，则只需f?x1????g?x???2min。可求出g?x?min?0，进而问题转化
为?x1??0,???，ax1??2a?1?x1?lnx1?0恒成立，此不等式不便于利用参变分离求解，考虑利用最值法分类讨论解决 解：
f?x1??g?x2?恒成立 ?只需f?x1??g?x?min
x'x'由g?x??e?x?1得：g?x??e?1，令g?x??0解得：x?0
?g?x?在???,0?单调递减，在?0,???单调递增 ?g?x?min?g?0??0
??x1??0,???，ax12??2a?1?x1?lnx1?0恒成立
即只需f?x?max?0
212ax??2a?1?x?1?2ax?1??x?1?f?x??2ax?2a?1??? xxx'当a?0时，令x?则f?2a?1 a1??2a?1??2a?1???ln?ln2???????0，与f?x??0矛盾
a??a??a??
当a?0时，2ax?1?0 ?f'?x??0解得x?1
?f?x?在?0,1?单调递增，在?1,???单调递减 ?f?x?max?f?1??a??2a?1???a?1
??a?1?0?a??1
综上所述：a???1,0?
小炼有话说：（1）在例6，例7中对于多变量恒成立不等式，都是以其中一个函数作为突破口求得最值，进而消元变成而二元不等式，再用处理恒成立的解决方法解决。 （2）在本题处理f?x??0恒成立的过程中，对令x?2a?1这个反例，是通过以下两点确a2定的：① a?0时估计f?x?函数值的变化，可发现当x???时，ax??2a?1?x?0（平方比一次函数增长的快） ②在选取特殊值时，因为发现x?1时，lnx已然为正数，所以只需前面两项相消即可，所以解方程ax2??2a?1?x?0?x?合反例的要求。 例5：已知函数f?x??的取值范围.
思路：恒成立不等式为
2a?11?2??0，刚好符aak1?lnx ，如果当x?1时，不等式f?x??恒成立，求实数kxx?11?lnxk,只需不等号两侧同时乘以x?1即可进行参变分离，?xx?1且由于x?1,x?1?0，也不存在不等号变号问题。则可得：k??x?1??1?lnx?,只需
x??x?1??1?lnx???x?1??1?lnx?，尝试利用导数求得最小值，
gx?k??即可，设 ???xx??min解：
x?1 ??x?1??1?lnx? 1?lnxk??k?xx?1x即只需要k????x?1??1?lnx???
x??min
'设g?x???x?1??1?lnx?x??x?1??1?lnx???x??x?1??1?lnx??x?lnx ?g'?x???x2x2
令h?x??x?lnx (分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析）
?h'?x??1?1x?1 ?xxx?1 ?h'?x??0
?h?x?在?1,+??单调递增 ?h?x??h?1??1?0
?g'?x??0 ?g?x?在?1,+??单调递增 ?g?x?min?g?1??2
?k?2
答案：k?2
方法二： 恒成立问题——数形结合法
一、基础知识：
1、函数的不等关系与图像特征：
（1）若?x?D，均有f?x??g?x??f?x?的图像始终在g?x?的下方 （2）若?x?D，均有f?x??g?x??f?x?的图像始终在g?x?的上方
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等
4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）
5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图 （2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义 （3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征 二、典型例题：
例1：已知不等式?x?1??logax在x??1,2?上恒成立，则实数a的取值范围是_________
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高中数学 恒成立汇总方法-教师版
