数列与函数、不等式相结合问题
一．方法综述
数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略
类型一 数列中的恒成立问题
【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列数列式A．C．【答案】A 【解析】 由题意得
.
由得
， ，
则不等式而
，
，
，
，
恒成立.
恒成立等价于
恒成立，
，则
，等差数列
的公差
，
满足
，记数列
满足
，
，
，，不等
的前项和为，若对于任意的
恒成立，则实数的取值范围为（ ）
B．D．
问题等价于对任意的设
则解得故选:A.
或
，即
.
，
【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得的
，进而由递推关系可得
，
恒成立.
，借助裂项相消法得到，又
，问题等价于对任意
2【举一反三】已知数列?an?的首项a1?a，其前n项和为Sn，且满足Sn?Sn?1?4n?n?2,n?N??，若
对任意n?N?,an?an?1恒成立，则a的取值范围是（ ） A．?3,5? B．?4,6? C．?3,5? D．?4,6? 【答案】A
类型二 数列中的最值问题
【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列的正整数的最小值是（ ）
满足
，
，则使
A．2018 【答案】C 【解析】 令因为设当
时,则
B．2019 C．2020 D．2021
,所以,所以数列, 当
单调递增， 时
,
，从而，
所以当时，，，
从而因此选C.
,
,
【指点迷津】本题利用数列的递推公式,确定数列的单调性，令,利用裂项相消法得，再根
据范围求正整数的最小值.在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中确定数列单调性是解题的关键
【举一反三】【河南省许昌市、洛阳市2019届高三三模】已知数列
，
，
，若
，
的前项和分别为，，且
恒成立，则的最小值为（ ）
A． 【答案】B 【解析】 当
时，
B． C．49 D．
，解得.当时，由，由于.则
，所以
，得，两式，故
，故
是
相减并化简得
首项为，公差为的等差数列，所以
，
由于是单调递增数列，故的最小值为，故选B. 类型三 数列性质的综合问题
，.
【例3】【江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考】已知等差数列3≤【答案】【解析】 在等差数列∴又∴由∴∴
． 得
，即， ．
．
，
中，
，
，
≤6，则的取值范围是_______．
的前n项和为，若1≤≤3，
即的取值范围是．
故答案为：．
求出的取值范围，然后根据不等式的性质可得所求结果.
【指点迷津】1.本题先根据
2.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；累乘法（相邻两项的积为特殊数列）；（3）构造法，形如an?qan?1?p?p?0,q?1?的递推数列求通项往往用构造法，即将an?qan?1?p?p?0,q?1?利用待定系数法构造成an?m?q?an?1?m?的形式，再根据等比数例求出?an?m?的通项，进而得出?an?的通项公式. 【举一反三】【广东省汕尾市2019年3月高三检测】已知数列为数列
的前项和若
的首项
恒成立，则的最小值为______．
【答案】 【解析】 数列则：故数列则：故：
是以的首项
常数
为首项，3为公差的等差数列． 首项符合通项． ，
，
，
由于数列故：
，
的前n项和
恒成立，
，
则：t的最小值为， 故答案为：．
类型四 数列与函数的综合问题 【例4】已知函数恒成立，若数列A．C．【答案】C 【解析】
对任意的实数x，y∈R，f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，
取x＝y＝0，则f（0）f（0）＝f（0），解得f（0）＝0或f（0）＝1． 当f（0）＝0时，所以f（0）＝1．
，得
余题意不符，故舍去.
满足
的定义域为，当
时，（B．D．
）且
，且对任意的实数，
，
，则下列结论成立的是（ ）
2020届高考数学压轴题讲义(选填题)：数列与函数、不等式相结合问题
