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2017年考研数学二真题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
?1?cosx,x?0?1．若函数f(x)??在x?0处连续，则 ax?b,x?0?11 （B）ab?? （C）ab?0 （D）ab?2 221x1?cosx12【详解】lim，limf(x)?b?f(0)，要使函数在x?0处连续，f(x)?lim?lim?x?0?x?0?x?0?axax2ax?0?11必须满足?b?ab?．所以应该选（A）
2a2（A）ab?2．设二阶可导函数f(x)满足f(1)?f(?1)?1，f(0)??1，且f??(x)?0，则（ ） （A）（C）
??1?10f(x)dx?0 （B）?f(x)dx?0
?11?1f(x)dx??f(x)dx （D）?f(x)dx??f(x)dx
0?10101【详解】注意到条件f??(x)?0，则知道曲线f(x)在??1,0?,?0,1?上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当x???1,0?时，f(x)??2x?1，当x??0,1?时，f(x)?2x?1，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导．所以
?1?1f(x)dx??(?2x?1)dx??(2x?1)dx?0．所以选择（B）．
?10201当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数f(x)?2x?1，此时
111，可判断出选项（A），（C），（D）都是错误的，当然选择（B）．希望同f(x)dx??,f(x)dx????1?0330学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧． 3．设数列?xn?收敛，则
（A）当limsinxn?0时，limxn?0 （B）当lim(xn?n??n??n??xn)?0时，limxn?0
n??n??(C）当lim(xn?xn)?0时，limxn?0 （D）当lim(xn?sinxn)?0时，limxn?0
n??2n??n??【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D）是正确的． 其实此题注意，设limxn?A，则
n??limsinxn?sinA,lim(xn?n??n??xn)?A?2A,lim(xn?xn)?A?A2,lim(xn?sinxn)?A?sinA n??n??分别解方程sinA?0,A?.;
A?0,A?A2?0,A?sinA?0时，发现只有第四个方程A?sinA?0有唯
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一解A?0，也就是得到limxn?0．
n??４．微分方程y???4y??89?e(1?cos2x)的特解可设为y*?（ ） （A）Ae（C）Ae2x2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) （B）Axe2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x) ?xe2x(Bcos2x?Csin2x) （D）Axe2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x)
22x【详解】微分方程的特征方程为r?4r?8?0，有一对共轭的复数根r?2?2i．
2x2x所以?1?2不是特征方程的根，所以对应方程y???4y??89?e的特解应该设为y1*?Ae；
而?2?2?2i是方程的单根，所以对应方程y???4y??89?e2xcos2x的特解应该设为
y2*?xe2x(Bcos2x?Csin2x)；从而微分方程y???4y??89?e2x(1?cos2x)的特解可设为y*?y1*?y2*?Ae2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x)，应该选（C）．
5．设f(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y)都有
?f(x,y)?f(x,y)?0,?0，则（ ） ?x?y（A）f(0,0)?f(1,0) （B）f(0,0)?f(1,1) （C）f(0,1)?f(1,0) （D）f(0,1)?f(1,0)
【详解】由条件对任意的(x,y)都有
?f(x,y)?f(x,y)?0,?0可知f(x,y)对于x是单调增加的，?x?y对y就单调减少的．所以f(1,1)?f(1,0)?f(0,0),f(1,1)?f(0,1)?f(0,0),f(0,1)?f(0,0)?f(1,0)，只有第三个不等式可得正确结论（D），应该选（D）．
6．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线v?v1(t)（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为t0，则（ ） （A）t0?10 （B）15?t0?20 （C）t0?25 （D）t0?25
【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，S(t)??T2T1v(t)dt表示时刻?T1,T2?内所走的路程．本题中的阴影面积S1,?S2,S3分别表示在时间段?0,10?,?10,25?,?25,30?内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在t?25时乙追上甲，应该选（C）．
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?000????17．设A为三阶矩阵，P???1,?2,?3?为可逆矩阵，使得PAP?010，
??则A(?1??2??3)?（ ）?002???（A）?1??2 （B）?2?2?3 （C）?2??3 （D）?1?2?3 【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目．可知
?000??000?????A(?1,?2,?3)?AP?P?010????1,?2,?3??010???0,?2,2?3?
?002??002?????所以A(?1??2??3)?A?1?A?2?A?3??2?2?3，所以可知选择（B）．
?200??210??100???????8．已知矩阵A??021?，B??020?，C??020?，则
?001??001??002???????（A）A,C相似，B,C相似 （B）A,C相似，B,C不相似 （C）A,C不相似，B,C相似 （D）A,C不相似，B,C不相似
【详解】矩阵A,B的特征值都是?1??2?2,?3?1．是否可对解化，只需要关心??2的情况．
?000???对于矩阵A，2E?A??00?1?，秩等于1 ，也就是矩阵A属于特征值??2存在两个线性无关的特
?001???征向量，也就是可以对角化，也就是A~C．
?0?10???对于矩阵B，2E?B??000?，秩等于2 ，也就是矩阵A属于特征值??2只有一个线性无关的特
?001???征向量，也就是不可以对角化，当然B,C不相似故选择（B）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．曲线y?x(1?arcsin)的斜渐近线为 ．
2x2x(1?arcsin)yx?1，lim(y?x)?limxarcsin2?2，所以斜渐近线为y?x?2． 解：lim?limx??x??x??xx??xx?x?t?etd2y10．设函数y?y(x)由参数方程?确定，则2|t?0? ．
dx?y?sint.;
2017年考研数学二真题与解析
