第十讲 抛物线
一般地说来，我们称函数y?ax2?bx?c (a、b、c为常数，a?0)为x的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有： 1．a、b、c的符号决定抛物线的大致位置； 2．抛物线关于x??b对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a相关，抛物线在顶点2a4ac?b2b(?，)处取得最值；
4a2a 3．抛物线的解析式有下列三种形式： ①一般式：y?ax2?bx?c； ②顶点式：y?a(x?h)2?k；
③交点式：y?a(x?x1)(x?x2)，这里x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个实根． 确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的
解析式是解与抛物线相关问题的关键．
注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有： (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；
(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x轴所截得的弦长获得对称信息． 【例题求解】
【例1】 二次函数y?x2?bx?c的图象如图所示，则函数值y?0时，对应x的取值范围是 ．
思路点拨 由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出b，c值，先求出y?0时，对应x的值．
【例2】 已知抛物线y?x2?bx?c(a<0)经过点(一1，0)，且满足4a?2b?c?0．以下结论：①a?b?0；②a?c?0；③?a?b?c?0；④b2?2ac?5a2．其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定a、b、c的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．
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【例3】 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?
思路点拨 恰当建立直角坐标系，易得出M、N及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(x，y)，建立含x的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出x的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．
注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解． 【例4】 二次函数y??123x?x?m?2的图象与x轴交于A、两点(点A在点B左边)，与22y轴交于C点，且∠ACB＝90°．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设计两种方案：作一条与y轴不重合，与△A BC两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积为△BOC面积的
1，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设4计的方案不必证明)．
思路点拨 (1)A、B、C三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．
注： 解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键． 【例5】
已知函数y?(a?2)x2?2(a2?1)x?1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．
a2?13思路点拨 将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为x?，因?(a?2)?a?2a?2a2?1a2?13时达?a?1，故函数的最小值只可能在x取a?2，a?2，0??1，a?2?a?2a?2a?2到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．
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学历训练
1．如图，若抛物线y?ax2与四条直线x?1、x?2、y?1、y?2所围成的正方形有公共点，则a的取值范围是 ．
2．抛物线y?ax2?bx?c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值为 ．
3．如图，抛物线的对称轴是直线x?1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为(-l，0)、(0，
3)，则(1)抛物线对应的函数解析式为 ；(2)若点P为2此抛物线上位于x轴上方的一个动点，则△ABP面积的最大值为 ．
4．已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，且OA＝OC，则由抛物线的特征写出如4ac?b2下含有a、b、c三个字母的式子①??1，②ac?b?1?0，③abc?0，④
4aa?b?c?0，>0，其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填上)．
5．已知a??1，点(a?1，y1)，(a，y2)，(a?1，y3)都在函数y?x2的图象上，则( ) A．y1?y2?y3 B．y1?y3?y2 C．y3?y2?y1 D．y2?y1?y3
6．把抛物线y?x2?bx?c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y?x2?3x?5，则有( )
A．b?3，c?7 B．b??9，c??15 C．b?3，c＝3 D．b??9，c?21
7．二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则点(a?b，ac)所在的直角坐标系是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第10讲 抛物线
