层级一 第二练 复数、平面向量
[考情考向·高考导航]
1．高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，难度较低，纯属送分题目．
2．平面向量是高考必考内容，每年每卷有一个小题，难度中档，主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是考查的热点．
[真题体验]
1．(2019·全国Ⅱ卷)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
解析：C [z＝－3－2i，对应的点为(－3，－2)，在第三象限．]
2．(2019·全国Ⅰ卷)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.C.π 62π 3
πB. 35πD. 6
a·b2
解析：B [∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0.即a·b＝|b|；∴cos〈a，b〉＝＝|a|·|b|
|b|1
＝.
2|b|·|b|2
π
故〈a，b〉＝，故选B.]
3
2
- 1 -
3．(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：C [本题考查平面向量及充分必要条件． 由题意得|a－3b|＝a－6a·b＋9b， |3a＋b|＝9a＋6a·b＋b. 充分性：∵|a－3b|＝|3a＋b| ∴a－6a·b＋9b＝9a＋6a·b＋b 又∵|a|＝1，|b|＝1，∴a＝b＝1 ∴a＋9b＝9a＋b ∴－6a·b＝6a·b 即a·b＝0，∴a⊥b. 充分性得证． 必要性：
∵a⊥b，∴a·b＝0
又∵|a|＝|b|＝1，∴a－6a·b＋9b＝9a＋6a·b＋b ∴(a－3b)＝(3a＋b) ∴|a－3b|＝|3a＋b| 必要性得证．故选C.]
4．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
解析：2a＋b＝2(1,2)＋(2，－2)＝(4,2)，
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22c∥(2a＋b)，∴1×2－4λ＝0，解得λ＝. 1答案： 2
[主干整合]
1．复数运算中常用的结论
1＋i1－i2
(1)(1±i)＝±2i，＝i，＝－i.
1－i1＋i(2)－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)． (3)i＝1，i(4)i＋i
4n4n＋1
4n4n＋1
1
2
＝i，i
4n＋2
4n＋2
＝－1，i
4n＋3
＝－i(n∈N)．
*
＋i＋i
4n＋3
＝0(n∈N)．
*
→
2．“三点”共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是OP＝
- 2 -
λ1OA＋λ2OB(其中λ1＋λ2＝1)．
→1→→
3．三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则OP＝(OA＋OB)．
24．三角形重心坐标的求法：
→→→?xA＋xB＋xC，yA＋yB＋yC?.
(1)G为△ABC的重心?GA＋GB＋GC＝0?G??33??→→→→→→
(2)OA·OB＝OB·OC＝OC·OA?O为△ABC的垂心． 5．平面向量数量积性质：a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)．
→→
热点一 复数的概念与运算
[题组突破]
1．(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( ) A．(x＋1)＋y＝1 C．x＋(y－1)＝1
2
2
2
2
B．(x－1)＋y＝1 D．x＋(y＋1)＝1
2
2
22
解析：C [|z－i|＝1表示复平面内的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，故点E的轨迹方程为x＋(y－1)＝1.选C.]
2．(2020·苏州模拟)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z·z＝4，则a＝( ) A．1或－1 C．－3
2
2
2
B.7或－7 D.3
解析：A [∵z·z＝4，∴|z|＝4，即|z|＝2.
∵z＝a＋3i，∴|z|＝a＋3，∴a＋3＝2，∴a＝±1.故选A.]
3．(2020·湖北八校联考)已知复数z1＝2＋ai(a∈R)，z2＝1－2i，若为纯虚数，则|z1|
2
2
z1
z2
- 3 -
＝( )
A.2 C．2
B.3 D.5
2＋ai
51＋2i
2－2a＋4＋ai＝为纯虚数，则a＝1，
5
z12＋ai
解析：D [由于＝＝
z21－2i
则|z1|＝5，故选D.]
4．设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
zp2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2； p4：若复数z∈R，则z∈R.
其中的真命题为( ) A．p1，p3 C．p2，p3
B．p1，p4 D．p2，p4
1
解析：B [设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)． 11a－bi
对于p1，若∈R，即＝22∈R，则b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．
za＋bia＋b对于p2，若z∈R，即(a＋bi)＝a＋2abi－b∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋
2
2
2
2
bi＝bi?R，所以p2为假命题．
对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1
＝0.而z1＝z2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0?/ a1＝a2，b1＝－
b2，所以p3为假命题．
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0?z＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题，故选B.]
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解决复数问题的两种思想方法
1．复数的“实数化”：复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
2．复数的“方程思想”：即把复数z当作未知数，从解方程的角度求解z.
热点二 平面向量的运算及应用
平面向量的线性运算
→
[例1] (1)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝( )
3→1→
A.AB－AC 443→1→C.AB＋AC 44
1→3→
B.AB－AC 441→3→D.AB＋AC 44
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2020高考数学大二轮复习 层级一 第二练 复数、平面向量教学案
