参考答案 例题答案详解
【例1】（1）略；（2）AE⊥CG；
【例2】【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF， 在△AEB和△CFB中，
∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．
（2）解：∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF，∴∠BEF=∠EFB=45°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°， ∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．
【例3】【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB， 在△ABE和∠CBE中，
，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE；
（2）证明：∵AE=CE，AE=EN，∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，∴∠ECN=∠N， ∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，∴∠ACE+∠ECN=90°，即∠ACN=90°， ∴△CAN为直角三角形；
（3）解：∵正方形的边长为6，∴AC=BD=6， ∵∠ACN=90°，AN=4
，∴CN=
=2
，
，∴BE=OB+OE=4
．
∵OA=OC，AE=EN，∴OE=CN=，∵OB=BD=3
【例4】 【解答】解：（1）OE=OF．
证明如下：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2．
∵MN∥BC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OE=OC．同理可证OC=OF．
∴OE=OF．四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，
而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）时，四边形AECF是正方形． 理由如下：∵O为AC中点，∴OA=OC，
∵由（1）知OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形； ∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，∴?AECF为矩形， 又∵AC⊥EF．∴?AECF是正方形．
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．（3分）
【例5】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°， ∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，
，∴△AGE≌△AFE（SAS）；
（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF． ∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG， ∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2， ∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2； （3）解：EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2
又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2
课堂同步练习参考答案
1、D 2、B．3、D 4、B 5、A 6、A 7、A 8、A． 9、B． 10、B 11、B
12、A．试题分析：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，∵CB=CD，∠CBE=∠CDG，BE=DG，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，∴∠GCF=45°，在△GCF与△ECF中，∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，CF=CF，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF=EF，∵CE=
，CB=6，∴BE=
==
=，∴
，故选A．
=3，∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+，∴x=4，即AF=4，∴GF=5，∴DF=2，∴
（6﹣x）=9﹣x，∴EF=CF=
=
13、答案为：22.5 14、答案为：5，15、答案为：5．16、答案为8．17、答案为：7． 18、答案为：
． 19、答案为：①②③ 20、答案为：
． 21、略
22、（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠=90°，DC=CB，∵E、F为DC、BC中点， ∴DE=DC，BF=BC，∴DE=BF， ∵在△ADE和△ABF中，
，∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2， ∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF=4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2=6．（8分） 23、【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB， ∵BD是∠ABC的一条角平分线，∴OE=OM，
∵四边形OECF是正方形，∴OE=OF，∴OF=OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上； （2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∴AB=
=
=13，
设CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，∴，解得：，∴CE=2，∴OE=2．
24、 (1)是定值．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD，∴PF∥AC.同理：PE∥BD.∴四边形PFOE为矩形．∴PE＝OF. 又∵∠PBF＝45°，∴PF＝FB.∴PE＋PF＝OF＋FB＝OB＝
a.
（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF∥AC. 同理：PE∥BD.∴四边形PFOE为矩形．∴PE＝OF.
又∵∠PBF＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF.∴PE－PF＝OF－BF＝OB＝
a.
25、(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=90o. ∴∠BAE+∠DAF=90o 又∵BE⊥a,DF⊥a,∴∠AEB=∠DFA=90o ∴∠BAE+∠ABE=90o∴∠ABE=∠DAF ∴ΔABE≌ΔDAF.
②∵ΔABE≌ΔDAF∴AE=DF,BE=AF 又∵EF=AE+AF∴EF=BE+DF (2)EF=DF-BE
证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD，∠BAD=90o,∴∠BAE+∠DAF=90o 又∵BE⊥a,DF⊥a,∴∠AEB=∠DFA=90o∴∠BAE+∠ABE=90o
∴∠ABE=∠DAF∴ΔABE≌ΔDAF. ∴AE=DF,BE=AF又∵EF=AE-AF∴EF=DF-BE (3)EF=BE-DF
同步测试题参考答案
1、B 2、B 3、C 4、A； 5、C 6、B 7、B； 8、B 9、C 10、B
【解答】解：∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，∴△ABF≌△BEC，
∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，∴△BEH∽△ABF，∴∠BAF=∠BHE=90°，即BF⊥EC，①正确； ∵四边形是正方形，∴BO⊥AC，BO=OC，
由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，∴∠ECO=∠FBO， ∴△OBM≌△ONC，∴ON=OM，即②正确； ③∵△OBM≌△ONC，∴BM=CN，
∵∠BOM=90°，∴当H为BM中点时，OH=BM=CN（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， 因此只有当H为BM的中点时，
，故③错误；
④过O点作OG垂直于OH，OG交CH与G点， 在△OGC与△OHB中，
，故△OGC≌△OHB，
∵OH⊥OG，∴△OHG是等腰直角三角形，
按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG， 则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立． 综上所述，①②④正确．故选B．
11、 答案为：8 12、 答案为：67.5°．13、 答案为：；8cm 14、 答案为： 2
15 、答案为：、﹣1 16、 答案为：
17、【解答】解：连接PC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC， 又∵PN⊥DC，PM⊥BC，∴∠PMC=90°，∠PNC=90°，∴四边形PMCN为矩形，∴PC=MN， 在△ABP和△CBP中，
，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP=PC，∴AP=MN．
18、【解析】(1)在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,∴∠DAF+∠BAF=90°, ∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,∴∠ABE=∠DAF,
∵在△ABE和△DAF中,∴△ABE≌△DAF(ASA),∴AF=BE.
(2)MP与NQ相等.理由如下:如图,过点A作AF∥MP交CD于点F,过点B作BE∥NQ交AD于点E,
则与(1)的情况完全相同.而MP=AF,NQ=BE,∴MP=NQ. 19、【解答】解：（1）AF=EF；理由如下：连接AE，
∵△DBE是正三角形，∴EB=ED．∵AD=AB，AE=AE，∴△ABE≌△ADE． ∴∠BEA=∠DEA=×60°=30°．
∵∠EDA=∠EDB﹣∠ADB=60°﹣45°=15°，∴∠EAF=∠AED+∠ADE=45°． ∵EF⊥AD，∴△EFA是等腰直角三角形．∴EF=AF． （2）设AF=x，∵AD=2，BD==ED，FD=2+x，
在Rt△EFD中，由勾股定理得EF2+FD2=ED2即x2+（2+x）2=（）2 ∴x=﹣1（x=﹣﹣1舍去），∴AF=﹣1．
20、【答案】证明：连接BD交AC于O，过点A作AH⊥BE于H。 ∵BE∥AC，AH⊥BE∴AH⊥AC又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD， ∴AH∥OB ， AO=BO，AO⊥BO∴四边形AOBH正方形∴AH=AO=∵AE=AC，∴AH=
∴∠AEH=30°，
又∵BE//AC，AE//CF，∴四边形ACFE是菱形，∴∠ACF=∠AEH=30°，
∵AC是正方形的对角线，∴∠ACB=45°，∴∠BCF=15°，∴∠AEB=2∠BCF。
人教版八年级数学下册第04课 正方形性质与判定 同步练习题 docx
