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集合的含义与表示
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1、 通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性。 2、 掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“?”来表示。
3、 掌握列举法和描述法，会选择不同的方法来表示集合，记住常用数集的符号。
一、集合与元素的概念：
一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。集合中每一个对
象称为该集合的元素。如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合｛1，2，3，4｝。1，2，3，4就是这个集合的元素 。类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。
特别提醒：1、集合是一个“整体”。一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。3、集合通常用大写的字母表示，如……；元素通常用小写的字母表示，如a、b、c、d……。 A、B、C、二、集合中元素的特性：
1、确定性：设A是一个给定的集合，x是某一具体的对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，二者必居其一，不能模棱两可．
2、互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。集合中相同的元素只能算是一个。如方程x2?2x?1?0有两个重根x1?x2?1，其解集只能记为?1?，而不能记为?1,1?。
3、无序性：集合中的元素是不分顺序的．如?a,b?和?b,a?表示同一个集合． 特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。
三、元素与集合的关系：
一般地，如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a?A；如果a不是集合的元素，就说a不属于A，记作a?A。
特别提醒：1、“属于”号?与“不属于”号?，使用时不可反过来写，“A－6”与“A 8”的写法是错误的；2、根据集合中元素的确定性，a?A或a?A，这两种情况必有一
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种成立；3、集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的。如：集合A??1?相对于集合B???1?,?2?,?3??而言，A是B的一个元素；元
素与集合之间不存在大小与相等的关系，如2与?3?，只能是2??3?，不能写成2??3?。4、符号?和?是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系，如：?1???1,2?的写法是错误的，而?1???1?,?2?的写法是正确的。
四、集合的分类：
按照集合中元素的个数是有限还是无限，集合可分为：有限集和无限集。 （1）有限集：含有有限个元素的集合； （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作?．空集是个特殊的集合，
空集归入
??有限集。如：{x?R|x?1?0}。
按照集合中元素的形式，性质及属性，集合可分为： （1）单元素集：只含一个元素的集合；如?0?，???。 （2）数集：有一些数字组成的集合；
（3）点集：由符合某一条件的点?x,y?，组成的集合；方程x2?x?2?0的解集是：??1,2?。
五、常用数集的关系及记法
2??x,y?y?2x?1?
（4）解集：由方程或方程组，不等式或不等式组的解组成的解的集合，简称解集。如：
六：集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。如，由方程
x2?1?0的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} 特别提醒：1、元素间用分隔号“，”；2、元素不重复；3、不考虑元素顺序；4、适用
于表示元素较少的集合；对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。如：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}；所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}
（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。①格式：x?AP?x?；②含义：它表示集合由具有性质P?x?的所有元素构成的。其中x为该集合中元素的代表形式，它表明了该集合中的元素是“谁”，是“什么样”；I表明了x的范围；P?x?为该集合中元素所具有的特征。如：不等式x?3?2的解集可以表示为：{x?R|x?3?2}或{x|x?3?2}。
特别提醒：1、写清楚该集合中元素的代号；2、说明该集合中元素的特征；3、不能出现未被说明的字母；4、多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”；5、所有描述的内容都要写在大括号内；6、用于描述的语言要力求简明、确切。7、错误表示法： {实数集}或 {全体实数}；正确的表示方法为：R??实数?
（3）韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如：集合?1，2，3，4?可用韦恩图表示为：
类型一 对集合概念的理解
例1：判断下列各组对象能否组成一个集合： (1)9以内的正偶数； (2)篮球打得好的人；
(3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员； (4)高一(1)班所有高个子同学．
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练习1：有下列4组对象：(1)某校2015级新生；(2)小于0的自然数；(3)所有数学难题；(4)接近1的数．其中能构成集合的是________． 练习2：(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列各组对象中，不能组成集合的是( )
A．所有的正数 B．所有的老人 C．不等于零的数 D．我国古代四大发明 类型二 集合中元素的特性
例2：集合A是含有两个不同实数a－3,2a－1的集合，求实数a的取值范围． 练习1：能够组成集合的是（ ）
A．与2非常接近的全体实数； B．很著名的科学家的全体；
C．某教室内的全体桌子； D．与无理数?相差很小的数
练习2：若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( ) A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 类型三 元素与集合的关系
22
例3：已知集合A由a＋2，(a＋1)，a＋3a＋3三个元素构成，且1∈A，求实数a的值．
2
练习1：(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)已知集合A＝{x|ax－3x＋2＝0，
a∈R}，若A中只有一个元素，则a的值是( )
A．0 9
C．0或
8
9B． 89D．－
8
练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)已知集合A＝{x|x(x－2)＝0}，那么( )
A．0∈A C．－2∈A
类型四：集合的表示方法 例4：用列举法表示下列集合
（1）A?x?Zx?2； （2）M?B．2?A D．0?A
????x,y?x?y?4,x?N?,y?N??
练习1：(2014～2015学年度上海复旦大学附属中学高一上学期期中测试)用列举法表示集合????6?*
∈N，a∈Z?＝__________. A＝?a?
????5－a?
练习2：用列举法表示下列集合
方程x?2?0的所有实数根组成的集合为：__________________ 1.下列说法：
①地球周围的行星能确定一个集合；
②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合； ③我们班视力较差的同学能确定一个集合． 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
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2. 集合A＝{y|y＝x＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x＋1}，(A、B中x∈R，y∈R)．关于元素与集合关系的判断都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B C．2∈A，且(3,10)∈B D．(3,10)∈A，且2∈B
3. 集合{y|y＝x，－1≤x≤1，x∈Z}用列举法表示是( )
A．{－1,0,1} C．{－1,0}
B．{0,1} D．{－1,1}
2
2
4. 满足不等式1?1?2x?19的合数组成的集合为 。 5．用另一种方法表示下列集合： （1）?,,,,?? 。 （2）?绝对值不大于3的整数?? 。
6. 集合xx?x,x?5且x?Z可用列举法表示为 。 7. 满足不等式1?1?2x?19的合数组成的集合为 。
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基础巩固
1. 若集合A含有两个元素0,1，则( )
A．1?A C．0?A
B．0∈A D．2∈A
?11325??32537???2. 已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 C．8
2
B．6 D．10
3. 已知集合A含有三个元素1,0，x，若x∈A，则实数x＝________.
?12145?
4. 集合?，，，，?可用特征性质描述法表示为__________．
?45278?
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5.设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b-a=（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 能力提升
6. 已知集合A中含有三个元素m－1,3m，m2－1，若－1∈A，求实数m的值．
7. 已知集合M含有三个元素1,2，x2，则x的值为______________．
8. 若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝____________.
9. 用描述法表示图中阴影部分(不含边界)的点构成的集合；
10. 已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}，若A中元素最多只有一个，求a的取值范围．
集合的关系与运算
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4、 掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。 5、 了解空集的含义与性质。
6、 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 7、 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
一、子集：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们．．就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合B。
记作:A?B或B?A ， 读作：A包含于B或B包含A。 特别提醒：1、“A是B的子集”的含义是：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，．．即由x?A，能推出x?B。如：?1,?1????1,0,1,2?；?深圳人???中国人?。2、当“A不是B的子集”时，我们记作：“A?，读作：“A不包含于B，（或B不包?B或B??A”含A）”。如：?1,2,3??任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合A，??1,3,4,5?。3、它的任何一个元素都属于集合A本身，记作A?A。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合A，有??A。5、在子集的定义中，不能理解为子集A是集合B中部分元素组成的集合。因为若A??，则A中不含有任何元素；若A=B，则A中含有B中的
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高中数学必修一全册讲义教师学生双用带答案一对一班课通用
