第九章部分习题解答
9－2
解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重力
M1g,M2g。如图（a）所示，假设重物M2的加速度
a2的方向竖直向下，则重物M1的加速度a1竖直向上，FI2
两个重物惯性力FI1,FI2为
FI1?M1a1 FI2?M2a2
（a）
δx1
M2g
δx2
该系统有一个自由度，假设重物M2有一向下的虚位移
M1g
?x2，则重物M1的虚位移?xI1
1竖直向上。由动力学普遍
F方程有 （a）
?W??M1g?x1?M2g?x2?FI1?x1?FI2?x2?0 （b）
T 根据运动学关系可知
?x111?2?x2
a1?2a2 （c）
M2g
将(a)式、(c)式代入(b)式可得，对于任意?x2?0有 a2
aMM2?42?214Mg?2.8m/s2 （b）
2?M1方向竖直向下。
取重物M2为研究对象，受力如图（b）所示，由牛顿第二定律有
M2g?T?M2a2
解得绳子的拉力T?56.1N。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。 9－4
解：如图所示该系统为保守系统，有一个自由度，取?为广义坐标。系统的动能为
T?1m[(l?R?)??]22 取圆柱轴线O所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为
V?mg[Rsin??(l?R?)cos?]
1
拉格朗日函数L?T?V，代入拉格朗日方程
d?L?L()??0 ?dt????零势面
整理得摆的运动微分方程为
???R??2?gsin??0。 (l?R?)?
9－6
解：如图所示，该系统为保守系统，有一个自由度，取弧坐标s为广义坐标。系统的动能为
T?1?2mS 2h 零势面
取轨线最低点O所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为
V?mgh
Sss2dhs?sin??，因此有h??ds?由题可知。则拉格朗日函数
4b8bds4bo12mg2??L?T?V?mss 28b代入拉格朗日方程
d?L?Lg()??0，整理得摆的运动微分方程为?s??s?0。解得质点?dt?s?s4b的运动规律为s?Asin(1gt??0)，其中A,?0为积分常数。 2b
9－13
解：1.求质点的运动微分方程
圆环（质量不计）以匀角速度?绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自由度，取角度?为广义坐标。系统的动能为
T?11m(r??)2?m(?rsin?)2 22如图所示，取??0为零势位，图示瞬时系统的势能为
2
V?mgr(1?cos?)
则拉格朗日函数
L?T?V?12?2mr(???2sin2?)?mgr(1?cos?) 2代入拉格朗日方程微分方程为
d?L?L()??0，整理得质点的运动?dt????零势位
???(g??2cos?)sin??0 ?r2.求维持圆环作匀速转动的力偶M
如果求力偶M，必须考虑圆环绕铅垂轴AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB匀速?转动”这一约束，将力偶M视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度?和圆环绕
?代替?，则拉格朗日函数轴AB的转角?为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以?为
L?T?V?12?2?2sin2?)?mgr(1?cos?) mr(???2力偶M为非有势力，它对应于广义坐标?和?的广义力计算如下：取???0,???0，在这组虚位移下力偶M所做的虚功为[?W]???0，因此力偶M对应于广义坐标?的广义力Q??0；取???0,???0，在这组虚位移下力偶M所做的虚功为[?W]???M???，
M因此力偶M对应于广义坐标?的广义力Q??M[?W]?????M。
代入拉格朗日方程
d?L?L()??Q?M?0，整理可得 dt????????gsin??0 ?r代入拉格朗日方程
d?L?LM()??Q??M，整理可得 ???dt????M ???mr2sin2????mr2sin2?????,????0，代入上式可得M?mr圆环绕铅垂轴AB以匀速?转动，即?2?sin2?。 ?? 3
9－14
解： 以刚体为研究对象，有一个自由度。如图（a）所示，取O3G和OC的夹角?为广义坐标。若以框架O1O2OC为动系，则刚体的相对运动是以角速度??绕轴O1O2的定轴转动，牵连运动是以角速度?绕OC轴的定轴转动，绝对角速度?a是??和?的矢量和。以O1O2为
x?轴，O3G为y?轴，建立一个固连在刚体上的坐标系，该刚体的角速度?a可表示成
?i???cos?j???sin?z? ?a?θ
x ’
垂直于O1O2的平面
?? ? y’
z’
O3 z’
? θ G y’
（a） （b）
由于坐标系O3x?y?z?的三个坐标轴为过O3点的三个惯量主轴，则系统的动能为
1T?[J1??2?J2(?cos?)2?J3(?sin?)2]
2取??0为零势位，图示瞬时系统的势能为V?mgl(1?cos?)，则拉格朗日函数
1?2?J(?cos?)2?J(?sin?)2]?mgl(1?cos?) L?T?V?[J1?232代入拉格朗日方程
d?L?L()??0，整理可得物体的运动微分方程为 ?dt????????2(J?J)sin?cos???mglsin? J1?23
9－15
4
解：框架（质量不计）以匀角速度?绕铅垂边转动，系统有一个自由度，取AB杆与铅垂边的夹角?为广义坐标。若以框架为动系，AB杆上任意一点的速度是该点相对于框架的相对速度和随框架运动的牵连速度的矢量和，且相对速度和牵连速度相互垂直, 因此杆AB的动能可表示为相对于框架运动的动能和随框架转动的动能之和。如图所示，AB杆相对于框架作平面运动，“速度瞬心”为O点，设AB杆的质心为C，由几何关系可知AC?OC?BC?l，
?。杆AB相对于框架运动的动能 则质心为C的速度大小为vC?l?1112?2?2ml2??2 T1?mvC?[m(2l)2]?22123杆AB随框架转动的动能
12lm2T2??dx(?xsin?)2?ml2?2sin2?
202l3C 系统的动能T?T1?T2。
假设??90时杆势能为零，则任意位置系统的势能为V?mglcos?。则拉格朗日函数
0O
L?T?V?22?2ml(???2sin2?)?mglcos? 3代入拉格朗日方程
d?L?L()??0，整理得系统的运动微分方程 ?dt???????4l?2sin?cos??3gsin??0 4l?由于角?描述的是杆AB相对于框架的位置变化，因此上式也就是杆的相对运动微分方程。
9－17
解：取楔块A，B构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块A水平滑动的位移
以及楔块B相对于A滑动的位移s为广义x，
坐标。若以楔块A为动系，则楔块A的速度vA，楔块B的速度vB，以及B相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）
vB?vA?vBr
vBrs vA x 系统的动能为
5
理论力学谢传锋第九章习题解答
