. . .
1 -11 一质点P 沿半径R =3.0 m的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0s,设t =0 时,质点位于O 点.按(a)图中所示Oxy 坐标系,求(1) 质点P 在任意时刻的位矢;(2)5s时的速度和加速度.
分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r =r(t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度).在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′=x′(t)和
y′=y′(t)来表示圆周运动是比较方便的.然后,运用坐标变换x =x0 +x′和y =y0 +y′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系
中质点P 在任意时刻的位矢.采用对运动方程求导的方法可得速度和加速
.. ..
. . .
度.
解 (1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因θ?参数方程为
2πt,则质点P 的Tx??Rsin坐标变换后,在Oxy 坐标系中有
2π2πt, y???Rcost TTx?x??Rsin则质点P 的位矢方程为
2π2πt, y?y??y0??Rcost?R TT2π2π??ti???Rcost?R?jTT??r?Rsin?3sin(0.1πt)i?3[1?cos(0.1πt)]j
(2) 5s时的速度和加速度分别为
v?dr2π2π2π2π?Rcosti?Rsintj?(0.3πm?s?1)jdtTTTT
d2r2π2π2π2πa?2??R()2sinti?R()2costj?(?0.03π2m?s?2)idtTTTT1 -12 地面上垂直竖立一高20.0 m 的旗杆,已知正午时分太阳在旗杆的正上方,求在下午2∶00 时,杆顶在地面上的影子的速度的大小.在何时刻杆影伸展至20.0 m?
分析 为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程.根据几何关系,影长可通过太线对地转动的角速度求得.由于运动的相对性,太线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度.这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得.
解 设太线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s=htgωt,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为
v?dshω?3?1??1.94?10m?s 2dtcosωt1sπarctan??3?60?60s ωh4ω当杆长等于影长时,即s =h,则
t?.. ..
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即为下午3∶00 时.
1 -13 质点沿直线运动,加速度a=4 -t ,式中a的单位为m·s ,t的单位为s.如果当t =3s时,x=9 m,v =2 m·s ,求质点的运动方程.
分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决.由a?-1
2
-2
dvdx和v?可得dv?adt和dtdtdx?vdt.如a=a(t)或v =v(t),则可两边直接积分.如果a 或v不是时间
t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.
解 由分析知,应有
vt?dv??adt
v00得 v?4t?t?v0 (1)
由
133?xx0dx??vdt
02t得 x?2t?-1
14t?v0t?x0 (2) 12-1
将t=3s时,x=9 m,v=2 m·s代入(1) (2)得v0=-1 m·s,x0=0.75 m.于是可得质点运动方程为
x?2t2?14t?0.75 121 -14 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a=A -Bv,式中A、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程.
分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv =a(v)dt 分离变量为分.
解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点. (1) 由题意知 a?用分离变量法把式(1)改写为
dv?dt后再两边积a(v)dv?A?Bv (1) dtdv?dt (2)
A?Bv.. ..
. . .
将式(2)两边积分并考虑初始条件,有
tdvdv??v0A?Bv?0dt A?Bt得石子速度 v?(1?e)
BA由此可知当,t→∞时,v?为一常量,通常称为极限速度或收尾速
Bv度.
(2) 再由v?dyA?(1?e?Bt)并考虑初始条件有 dtBytA?Btdy?(1?e)dt ?0?0By?AAt?2(e?Bt?1) BB得石子运动方程
1 -15 一质点具有恒定加速度a =6i +4j,式中a的单位为m·s
-2
.在t=0时,其速度为零,位置矢量r0 =10 mi.求:(1) 在任意时刻的速
度和位置矢量;(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图.
分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解
时需根据加速度的两个分量ax 和ay分别积分,从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y(t).由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即x?x0?v0xt?121axt和y?y0?v0yt?ayt2,两个分22运动均为匀变速直线运动.读者不妨自己验证一下.
解 由加速度定义式,根据初始条件t0 =0时v0 =0,积分可得
vtt?0dv??adt??(6i?4j)dt
00.. ..
. . .
v?6ti?4tj
又由v?dr及初始条件t=0 时,r0=(10 m)i,积分可得 dt?rr0dr??vdt??(6ti?4tj)dt
00ttr?(10?3t2)i?2t2j
由上述结果可得质点运动方程的分量式,即
x =10+3t2 y =2t2
消去参数t,可得运动的轨迹方程
3y =2x -20 m
这是一个直线方程.直线斜率k?dy2?tanα?,α=33°41′.轨dx3迹如图所示.
1 -16 一质点在半径为R 的圆周上以恒定的速率运动,质点由位置A 运动到位置B,OA 和OB 所对的圆心角为Δθ.(1) 试证位置A 和B 之间的平均加速度为a?2(1?cosΔθ)v2/(RΔθ);(2) 当Δθ分别等于90°、
30°、10°和1°时,平均加速度各为多少? 并对结果加以讨论.
.. ..
第五版大学物理答案(马文蔚)
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