【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题3 导数及其应用
21 导数中的易错题 理
训练目标 (1)导数知识的细化、深化、巩固提高；(2)解题过程的细节训练. 训练题型 (1)导数和函数的极值；(2)利用导数求参数范围；(3)导数的综合应用. 解题策略 (1)注意f′(x0)＝0是x＝x0为极值点的必要不充分条件；(2)已知单调性求参数范围要注意验证f′(x)＝0的情况. 1．如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y＝f (x)上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．
2．(2015·福建福州三中月考)已知点A(1,2)在函数f (x)＝ax的图象上，则过点A的曲线
3
C：y＝f (x)的切线方程是____________________．
3．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为__________________．
4．(2015·兰州诊断)在直角坐标系xOy中，设P是曲线C：xy＝1(x>0)上任意一点，l是曲
线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则以下结论正确的是________．
①△OAB的面积为定值2 ②△OAB的面积有最小值3 ③△OAB的面积有最大值4
④△OAB的面积的取值范围是[3,4]
5．若函数f (x)＝2x－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则
实数k的取值范围是________．
6．若函数y＝x－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是________．
7．已知函数f (x)＝x＋ax＋x＋2 (a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实
数a的取值范围是________．
8．已知函数f (x)＝ax－3x＋1，若f (x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围
是________．
1131
9．已知函数f (x)＝x－sin x－cos x的图象在A(x0，f(x0))点处的切线斜率为，则
2442
π?? tan?x0＋?的值为__________．
4??
10．若函数f (x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是
____________________．
3
2
3
23
2
1 / 6
a－2
11．(2015·景德镇第二次质检)已知f (x)＝ax＋＋2－2a(a>0)，若f (x)≥2ln x在
x
[1，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是________．
12．函数f (x)＝ax－cos x，x∈[
f
3
ππππ
， ]，若?x1，x2∈[ ， ]，x1≠x2，4343
x2－fx1
<0，则实数a的取值范围是________．
x2－x1
13．若函数f (x)＝ax＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．
ex
14．已知函数f (x)＝(a>0)，若f (x)为R上的单调函数，则实数a的取值范围是
1＋ax2
________．
2 / 6
答案解析
ππ
1．[ ， )
32
解析 根据已知可得f′(x)≥3，即曲线y＝f (x)上任意一点的切线的斜率k＝tan
ππ
α≥3，结合正切函数的图象，可知α∈[ ， )．
32
2．6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0
解析 由于点A(1,2)在函数f (x)＝ax的图象上，则a＝2，即y＝2x，所以y′＝6x.若点A为切点，则切线斜率为6，若点A不是切点，设切点坐标为(m,2m)，则切线的斜率为k＝6m.由两点的斜率公式，得
12
2
3
3
3
2
2m3－222
＝6m(m≠1)，即有2m－m－1＝0，解得m＝1(舍去)或m－1
1342
m＝－.综上，切线的斜率为k＝6或k＝6×＝，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程
3
为y－2＝6(x－1)或y－2＝(x－1)，即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.
2
1
3．(－∞，0)∪(，2)
2
11
解析 由f (x)图象的单调性可得f′(x)在(－∞，)和(2，＋∞)上大于0，在(，2)上小
22
1
于0，∴xf′(x)<0的解集为(－∞，0)∪(，2)．
2
4．①
111
解析 由题意，得y＝.设点P(x0，y0)(x0>0)，y0＝，y′＝－，因此切线的斜率k＝－
xx0x21112
，切线方程为y－y0＝－(x－x0)．当x＝0时，y＝y0＋＝；当y＝0时，x＝x20y0＋x20x20x0x0
1
x0＝2x0，因此S△OAB＝xy＝2为定值．故①正确
2
3
5．[ 1， )
2
3 / 6
解析 ∵f (x)＝2x－ln x(x>0)，14x2－1
∴f′(x)＝4x－＝(x>0)，
xx
1
由f′(x)＝0，得x＝，
21
当x∈(0，)时，f′(x)<0；
21
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，
21??k－1< 2 3 解得1≤k<. 2 6．1 解析 y′＝3x－3a，当a≤0时，y′≥0， 函数y＝x－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a>0时，y′＝3x－3a＝0?x＝ ±a，不难分析，当1 7．(3，2) 解析 由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x＋2ax2 3 3 2 2 ??－1<－62a<1， ＋1，所以根据导函数图象可得? f′－1＝3－2a＋1>0，??f′1＝3＋2a＋1>0， 2 Δ＝2a2－4×3×1>0， 又a>0， 解得3 解析 当a＝0时，f (x)＝－3x＋1有两个零点，不合题意， 故a≠0，f′(x)＝3ax－6x＝3x(ax－2)， 2 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.a 若a>0，由三次函数图象知f(x)有负数零点，不合题意，故a<0. 2 由三次函数图象及f(0)＝1>0知，f ()>0， a23222 即a×()－3×()＋1>0，化简得a－4>0， aa 2 4 / 6 又a<0，所以a<－2. 9．2＋3 1131?π?1 解析 ∵f′(x)＝－cos x＋sin x＝sin?x－?＋， 6?22442? π?1? 又f′(x0)＝，故sin?x0－?＝0，6?2? ππ3 ∴x0＝kπ＋，k∈Z，∴tan x0＝tan ＝， 663 1＋ 3 3 π?tan x0＋1? ∴tan?x0＋?＝＝＝2＋3.4?1－tan x0?3 1－ 3 11 10．(－∞，2－)∪(2－，2) ee 1 解析 f′(x)＝＋a(x>0)．∵函数f (x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴ x11 方程＋a＝2在区间(0，＋∞)上有解，即a＝2－在区间(0，＋∞)上有解，∴a<2.若直线 xx1??＋a＝2，2x－y＝0与曲线f(x)＝ln x＋ax相切，设切点为(x0,2x0)，则?x0 ??2x0＝ln x0＋ax0， 解 111 得x0＝e，a＝2－.综上，实数a的取值范围是(－∞，2－)∪(2－，2)． eee 11．[1，＋∞) 解析 f (x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立，即f (x)－2ln x≥0在[1，＋∞)上恒成立．设g(x)＝f(x)－2ln x＝ax＋ a－2a－22 ＋2－2a－2ln x，则g′(x)＝a－－＝xx2x x－1 ax＋a－2 . x2 2－a2－a2－a 令g′(x)＝0，则x＝1或x＝.由于g(1)＝0，a>0，因此≤1(否则是g(x)的极 aaa 2－a 小值点，即g() a 12．(－∞，－ 解析 由 f 3]2 x2－fx1ππ <0知，函数f (x)在[ ， ]上是减函数．又f′(x)＝a＋ x2－x143 5 / 6
高考数学专题3导数及其应用21导数中的易错题理
