1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，
(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞12成立． ?exex2、已知函数f(x)?2?alnx?2(a?0).（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线x与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于?x?(0,??)都有f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区
―
间[e1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.
3． 设函数f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数f (x)在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x)在[,2]上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x)的极值点.
4、已知函数f(x)?12
12ax?(2a?1)x?2lnx(a?R). 2(Ⅰ)若曲线y?f(x)在x?1和x?3处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)设g(x)?x?2x，若对任意x1?(0,2]，均存在x2?(0,2]，使得
2f(x1)?g(x2)，求a的取值范围.
5、已知函数f?x??2?alnx?2(a?0) x(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单
调区间； (Ⅱ)若对于任意x??0,???都有f?x??2(a?1)成立，试求a的取值范围；
(Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间e,e上有两个零点，
求实数b的取值范围．
??1?6、已知函数f(x)?1?lnx． x(1)若函数在区间(a,a?1)(其中a?0)上存在极值，求实数a的取值范围； 2k恒成立，求实数k的取值范围． x?1(2)如果当x?1时，不等式f(x)?
1.解：(Ⅰ)对一切x?(0,??),f(x)?g(x)恒成立，即xlnx?ax??x?2恒成立.
也就是a?lnx?x?22在x?(0,??)恒成立.………1分 x令F(x)?lnx?x?2 ， x12x2?x?2(x?2)(x?1)?则F?(x)??1?2?，……2分
xxx2x2在(0，1)上F?(x)?0，在(1，??)上F?(x)?0， 因此，F(x)在x?1处取极小值，也是最小值， 即Fmin(x)?F(1)?3，所以a?3.……4分
f(x)?xlnx?x， (Ⅱ)当a??1时，f?(x)?lnx?2，由f?(x)?0得x?①当0?m?1. ………6分 2e111?时，在上，在f(x)?0x?(,m?3]上f?(x)?0 x?[m,)222eee因此，f(x)在x?11f(x)??处取得极小值，也是最小值. . min22ee由于f(m)?0,f(m?3)?(m?3)[ln(m?3)?1]?0 因此，fmax(x)?f(m?3)?(m?3)[ln(m?3)?1]②当m?
………8分
1时，f'(x)?0，因此f(x)在[m,m?3]上单调递增， 2e所以fmin(x)?f(m)?m(lnm?1)，
fmax(x)?f(m?3)?(m?3)[ln(m?3)?1]……9分
(Ⅲ)证明：问题等价于证明xlnx?x?
x2?(x?(0,??)),………10分 xee由(Ⅱ)知a??1时，f(x)?xlnx?x的最小值是?得，……11分 设G(x)?11x?，当且仅当时取22eex21?x??(x?(0,??))(x)?，则，易知 Gxxeee1Gmax(x)?G(1)??，当且仅当x?1时取到， ………12分
e但?11??，从而可知对一切x?(0,??)， 2ee12?成立. ………13分 exex都有lnx?1?2a?，2xx2x?22a所以f'(1)??2???1，所以a=1.所以f(x)??lnx?2. f'(x)?2.由
xx112、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为f'(x)??f'(x)?0解得x＞0；由f'(x)?0解得0＜x＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），
单调减区间是（0，2）.…… 4分
2aax?22， 由解得；由f'(x)?0解得f'(x)?0??x?22xxxa22220?x?.所以f (x)在区间(,??)上单调递增，在区间(0,)上单调递减.所以当x?aaaa2时，函数f (x)取得最小值，ymin?f(). 因为对于?x?(0,??)都有f(x)?2(a?1)成立，
a22222 所以f()?2(a?1)即可. 则?aln?2?2(a?1).由aln?a解得0?a?.所
2aaeaa2以a的取值范围是(0,). ……………… 8分
e （Ⅱ）f'(x)??x2?x?22 （Ⅲ）依题得g(x)??lnx?x?2?b，则g'(x)?.由g'(x)?0解得x＞1；
x2x由g'(x)?0解得0＜x＜1.所以函数g(x)在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为
?g(e?1)?0?－
增函数.又因为函数g(x)在区间[e1，e]上有两个零点，所以?g(e)?0.解得
?g(1)?0?1?b?22?e?1.所以b的取值范围是(1,?e?1]. ee
……………… 13
分
3．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（0，+∞）.
因为f'(x)? ……………… 1分
1?2x?0，所以f (x)在[1，e]上是增函数， x
……………… 3分
当x=1时，f (x)取得最小值f (1)=1. 所以f (x)在[1，e]上的最小值为1.
导数大题练习带答案
