2.4 正态分布
课堂导学
三点剖析
一、正态分布的性质
【例1】 正态总体N（0，1）的概率密度函数是 f(x)=
12?e?x22.x∈R.
(1)求证：f(x)是偶函数； （2）求f(x)的最大值；
(3)利用指数函数的性质说明f(x)的增减性. 解：（1）对于任意的x∈R， f(-x)=
12?e?(?x)22=
12?e?x22=f(x)
∴f(x)是偶函数.
x2 z z z
(2)令z=,当x=0时，z=0，e=1,∵e是关于z的增函数，当x≠0时，z＞0,e＞1,
2∴当x=0,即z=0时，e∴当x=0时，f(x)=
x22?ez取得最小值.
12?e?x22取得最大值
12?.
2x122x22(3)任取x1＜0,x2＜0,且x1＜x2,有x1＞x2,∴?2
2
xx＜-,∴e222122?＜e?,
∴
12?e?x22?12?e?x22
即f(x1)＜f(x2)
它表明当x＜0时，f(x)是递增的.
同理可得，对于任取的x1＞0,x2＞0,且x1＜x2，有f(x1)＞f(x2),即当x＞0时，f(x)是递减的.
二、利用正态分布的密度函数求概率 【例2】 设ξ服从N（0，1），求下列各式的值：（1）（ξ＞2.35);(2)P(ξ＜-1.24);(3)P(|ξ|P＜1.54).
分析：因为ξ服从标准正态分布，所以可借助于标准正态分布表，查出其值，由于表中只列出x0＞0,P(ξ＜x0)=Φ（x0)的情形，其他情形需用公式：Φ（-x)=1-Φ(x);P(a＜ξ＜b)=Φ（b)-Φ(a);和P（ξ＞x0)=1-P(ξ＜x0)进行转化. 解析：（1）P(ξ＞2.35)=1-P(ξ＜2.35)=1-Φ(2.35)=1-0.990 6=0.009 4; (2)P(ξ＜-1.24)=Φ(-1.24)=1-Φ(1.24)=1-0.892 5=0.107 5;
(3)P(|ξ|＜1.54)=P(-1.54＜ξ＜1.54)=Φ(1.54)-Φ(-1.54)=2Φ(1.54)-1=0.876 4.
1
温馨提示
对于标准正态分布N（0，1）来说，总体在区间（x1,x2)内取值的概率P（x1＜ξ＜x2)=φ(x2)-φ(x1)的几何意义是：介于直线x=x1和x=x2间，x轴上方，总体密度曲线下方的阴影部分面积.
三、正态分布的应用
【例3】 从南部某地乘车前往北区火车站搭汽车有两条线路可走，第一条线路穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布N(50,100)，第二条线路沿环城路走，线路较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N（60，16），试计算 (1)若有70分钟时间可用，应走哪条线路？ （2）若有65分钟时间可用，又应走哪条线路？ 解析：（1）有70分钟时走第一条线路及时赶到的概率为： P（ξ≤70)=Φ(
70?50)=Φ(2)=0.977 2. 1070?60)=Φ(2.5)=0.993 8. 4走第二条线路及时赶到的概率为 P（ξ≤70）=Φ(
所以，应走第二条线路.
（2）只有65分钟可用时，走第一条线路及时赶到的概率为： P(ξ≤65)=Φ(
65?50)=Φ(1.5)=0.933 2. 1065?50) 4走第二条线路及时赶到的概率为 P（ξ≤65）=Φ(
=Φ(1.25)=0.894 4. 所以，应走第一条线路. 温馨提示
正态分布是自然界中最常见的一种分布，例如测量的误差，人的生理特征的某些数据，学生的考试成绩等，它广泛存在于自然现象及科学技术的许多领域中，在实际应用中，当给定一个标准的正态分布N（0，1）以后，设P（ξ＜x）=P,结合标准的正态分布表可求两个
2
方面的问题：一是已知x的值求概率P；二是已知概率P的值求x的值.若ξ—N(μ,σ)，则
???—N(0,1),从而把一般的正态分布转化为标准的正态分布. ?各个击破
【类题演练1】下列函数是正态密度函数的是( ) A.f(x)=
12??122?(x??)2e2?2?2??e2 B.f(x)=2?x2C.f(x)=
e(x?1)24 D.f(x)=
(x??)22?21e 2?x22思路分析：对照正态密度函数f(x)=答案：B
12???e?易知B选项正确.此时σ=1，μ=0.
2
【变式提升1】把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是 ( ) A.曲线C2仍是正态曲线
B.曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等
C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比的曲线C2为概率密度曲线的总体的方差大2 D.以曲线C2为概率密度设曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2 思路分析：正态密度函数为f(x)=
12??e?(x??)22?2,正态曲线对称轴为x=μ,曲线最高点纵
坐标为f(μ)=
12??,所以曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，
且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位，所以均值μ增大2个单位. 答案：C
【类题演练2】若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设
2
计的，如果某地成年男子的身高ξ—N(175,6)(单位：cm），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？
解析：设该地公共汽车门的高度应设计为x cm,则根据题意可知：P（ξ＞x)＜1%,由于ξ—N(175,6)，所以P(ξ＞x)=1-P(ξ＜x)=1-Φ(＞0.99,查表可知：2
x?175x?175)＜0.01;也就是：Φ()66x?175＞2.33;解得x＞188.98，即该地公共汽车门至少应设计为189 cm6高.
【变式提升2】某镇农民年平均收入服从μ=500元，σ=20元的正态分布，（1）求此镇农民年平均收入在500元—520元间人数的百分比；（2）如果要使农民的年收入在(μ-a,μ+a)内的概率不小于0.95，则a至少为多大？
2
解析：设ξ表示此镇农民的年收入，由已知ξ—N（500，20）. （1）P（500＜ξ＜520) =Φ(
520?500500?500)-Φ()
2020=Φ（1）-Φ（0）=0.341 3.这说明此镇农民平均收入在500元—520元间的人数约为34%.
（2）令P(μ-a＜ξ＜μ+a)
aa)-Φ(-)≥0.95,
2020aaaa则有Φ()-［1-Φ()］≥0.95,有2Φ()-1≥0.95，所以Φ()≥0.975，由于
20202020aΦ(x)是增函数，故查表得()≥1.96,所以a＞39.2，因此要使农民的平均收入在
20=Φ(
（500-a,500+a）内的概率不小于0.95，a不能小于39.2.
【类题演练3】某班有48位同学，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？
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解析：设x表示这个班的数学成绩，则x服从N（80，10），P（80＜x＜90）
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=Φ(
90?8080?80)-Φ()=Φ(1)-Φ(0),查标准正态分布表得 1010Φ(1)=0.841 3,Φ(0)=0.500 0,故P(80＜x＜90)=0.841 3-0.500 0=0.341 3.所以从理论上
讲在80分至90分之间有48×0.341 3=16.382 4≈16(人).
【变式提升3】已知测量误差ξ—N(7.5,100),(单位cm),则必须进行多少次测量才能使至少一次测量的绝对误差不超过10 cm的概率大于0.9? 解析：设测量的绝对误差不超过10 cm的概率为p，则 p=P(|ξ|≤10) =Φ(
10?7.5?10?7.5)-Φ() 1010=Φ(0.25)-Φ(-1.75)
=Φ(0.25)-［1-Φ(1.75)］ =Φ(0.25)+Φ(1.75)-1
=0.598 7+0.959 9-1=0.558 6.
设η表示n次测量中绝对误差不超过10 cm的次数，则η—B(n,p),由P(η≥1)＞0.9得1-P（η=0）＞0.9,即1-Cn0.558 6(1-0.558 6)＞0.9,(0.441 6)＜0.1.
0
n
n
0解得n＞?1=2.815;所以至少要进行3次测量.
lg0.4414 4
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布课堂导学案 新人教A版选修23
