线性代数习题一
说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||?||表示向量?的长度，?T表示向量?的转置，E
表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
a111．设行列式a21a31A．-6 C．3
a12a22a32a133a11a23=2，则?a31a33a21?a313a12?a32a22?a32B．-3 D．6
3a13?a33=（ ） a23?a332．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（ ） A．E+A C．E+A
-1
B．E-A D．E-A
-1
3．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）
??A?A．??可逆，且其逆为?-1B???B??A?C．?可逆，且其逆为?-1?B???AA-1?? ?B-1?? ?B．??A???不可逆 B??? B-1??A-1?A?D．??可逆，且其逆为?B???4．设?1，?2，…，?k是n维列向量，则?1，?2，…，?k线性无关的充分必要条件是
（ ）
A．向量组?1，?2，…，?k中任意两个向量线性无关
B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l1?1+l2?2+…+lk?k≠0 C．向量组?1，?2，…，?k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D．向量组?1，?2，…，?k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5．已知向量2????(1,?2,?2,?1),3??2??(1,?4,?3,0),则???=（ ） A．（0，-2，-1，1） C．（1，-1，-2，0）
TTTTB．（-2，0，-1，1） D．（2，-6，-5，-1）
TT6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（ ）
A．1 C．3
B．2 D．4
7．设?是非齐次线性方程组Ax=b的解，?是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是
（ ）
A．?+?是Ax=0的解 C．?-?是Ax=b的解 8．设三阶方阵A的特征值分别为A．2,4,C．
B．?+?是Ax=b的解 D．?-?是Ax=0的解
11,,3，则A-1的特征值为（ ） 24B．
1 3111,, 24311,,3 241D．2,4,3
9．设矩阵A=2?1，则与矩阵A相似的矩阵是（ ）
1?1A．?123?2C．
01B．1021
11 D．
?21
10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 C．正定矩阵的行列式一定大于零
B．正定矩阵的行列式一定小于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB))=__________．
3
12?23，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________． 12．设3阶矩阵A=4t3?1113．设方阵A满足A=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A=__________． 14．实向量空间R的维数是__________．
15．设A是m×n矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．
17．设?是齐次线性方程组Ax=0的解，而?是非齐次线性方程组Ax=b的解，则A(3??2?)=__________．
nk-1
18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．
19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．
20．二次型f(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3的正惯性指数是__________． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
22211?1?1?1?421．计算行列式
24?6124222．设矩阵A=
21． 1235，且矩阵B满足ABA=4A+BA，求矩阵B．
-1-1-1
23．设向量组?1?(3,1,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其
余向量通过极大线性无关组表示出来．
?14324．设三阶矩阵A=?253，求矩阵A的特征值和特征向量．
2?4?225．求下列齐次线性方程组的通解．
2?23026．求矩阵A=
031?14?206?11的秩．
001210四、证明题（本大题共1小题，6分）
a1127．设三阶矩阵A=a21a31a12a22a32a13a23的行列式不等于0，证明： a33?a13??a11??a12????????1??a21?,?2??a22?,?3??a23?线性无关．
?a??a??a??31??32??33?线性代数习题二
说明：在本卷中，A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。
列式，r(A)表示矩阵A的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选
T
*
A表示方阵A的行
均无分。
1.设3阶方阵A的行列式为2，则
?1A?( ) 2B.?A.-1 1 4C.
14 D.1
x?2x?1x?22.设
f(x)?2x?22x?12x?2,则方程f(x)?0的根的个数为（ ）
3x?23x?23x?5A.0 B.1 C.2
D.3
3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若A?B,则必有（ A.A?0 B. A?B?0 C.
A?0
D.
A?B?0
4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（ ） A.(A?B)2?A2?2AB?B2
B.(A?B)(A?B)?A2?B2
C.(A?E)(A?E)?(A?E)(A?E) D.(AB)2?A2B2
?a1b1a1b2a1b3?5.设A???aaa??2b12b22b30,i?1,2,3,则矩阵A的秩为（?a3b1a3ba?,其中ai?0,bi?23b3??A.0 B.1 C.2
D.3
6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（ ） A.0 B.2 C.3
D.4
7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（ ） A.-10 B.-4 C.3
D.10
?x1?x2?8.已知线性方程组?x3?4?x1?ax2?x3?3无解，则数a=( )
??2x1?2ax2?4
））
A.?C.
1 2B.0 D.1
1 29.设3阶方阵A的特征多项式为A.-18 C.6
10.若3阶实对称矩阵AA.-1，-2，-3 C.-1，2，3
?E?A?(??2)(??3)2,则A?( )
B.-6 D.18
?(aij)是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（ ）
B.-1，-2，3 D.1，2，3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
3011.设行列式D42,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.
?2253?212.设A??a??a?b?b?,B????,则AB?__________.
??a?a???bb??103???2013.设A是4×3矩阵且r(A)?2,B?0??,则r(AB)?__________.
??103???14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.
15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.
?x1??x2?x3?0?16.设方程组??x1?x2?x3?0有非零解，且数??0,则??__________.
?x?x??x?03?1217.设4元线性方程组Ax?b的三个解α
1
，α2，α3，已知
?1?(1,2,3,4)T,?2??3?(3,5,7,9)T,r(A)?3.则方程组的通解是__________.
18.设3阶方阵A的秩为2，且A2?5A?0,则A的全部特征值为__________.
??211??1?????a019.设矩阵A?0有一个特征值??2,对应的特征向量为x?2,则数a=__________.
??????413??2?????20.设实二次型
f(x1,x2,x3)?xTAx,已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.
线性代数习题及解答
