模块四 三角函数
4.1角的概念推广及其度量
一、考纲要求：
1．理解正角、负角及零角等概念，熟练掌握角的加、减运算； 2．理解弧度的意义，掌握弧度和角度的换算． 二、知识要点：
1．角的概念：角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置而成的图形，射线的端点叫角的顶点，旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫角的终边．按逆时针旋转而成的角叫正角，按顺时针旋转而成的角叫负角，当射线没作任何旋转，我们称它形成一个零角．
2．象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，就叫做第几象限的角，如果角的终边落在坐标轴上，就称这个角为象限界角．
终边在x轴正半轴的角，则 ； 终边在x轴负半轴的角，则 ； 终边在x轴轴的角，则 ；
终边在y轴正半轴的角，则 ； 终边在y轴负半轴的角，则 ； 终边在y轴轴的角，则 ； 终边在第一象限的角，则 ； 终边在第二象限的角，则 ； 终边在第三象限的角，则 ； 终边在第四象限的角，则 ；
3．终边相同的角:两个角的始边重合,终边也重合时，称两个角为终边相同的角．所有与角?终边相同的角，连同角?在内，可构成一个集合：S?{? ????k?360o,k?Z}．
4．弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用“弧度”作单位来度
量角的制度叫做弧度制，用“度”作单位来度量角的制度叫做角度制．
任一已知角?的弧度数的绝对值??长，r为圆的半径.
5．弧度与角度的换算：
l，其中l为以角?作为圆心角时所对圆弧的r180o??rad,1o??180180oorad?0.01745rad,1rad?()?57o18??57.30.
说明：采用弧度制后，每一个角都对应于唯一的实数；反之，每一个实数对应于唯一的角，这样，角与实数就建立了一一对应的关系． 三、典型例题：
例1：写出与下列各角终边相同的角的集合S，并指出在—360°~720°范围之间的角．
(1)60°； (2)—125°16′．
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?
例2：若角?是第二象限角，
?是哪个象限的角? 2(2)角2?的终边在哪里?
(1)问角
?的面积是1cm，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB．例3：一个扇形OAB
2
四、归纳小结：
1．角的大小表示旋转量的大小,各角和的旋转量等于各角旋转量的和． 2．角的概念推广后,注意辨别：
(1)“0:90间的角”、“第一象限的角”、“锐角”及“小于90的角”； (2)“第一象限的角或第二象限的角”与“终边在x轴上方的角”． 3．正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零．
oooll中,比值与所取的半径大小无关,而仅与角的大小有关． rr1125．弧长公式为l???r，扇形面积公式为S?l?r???r．
224．公式??五、基础知识训练：
（一）选择题：
1．已知下列各角：—120°，—240°，180°，495°，其中第二象限的是( ) A．—120°，—240° B．—120°，180° C．—240°，180° D．—240°，495° 2．下列四个命题中正确的是( )
A．第一象限角都是锐角 B．锐角都是第一象限角
C．终边相同的角一定相等 D．第二象限角必大于第一象限角 3．与30°角终边相同的角的集合是( )
A．{?|??30?k.180,k?Z} B．{?|??30?k.360,k?Z}
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C．{?|???6?k.?,k?Z} D．{?|???3?2k.?,k?Z}
4．若?、?的终边相同，则???的终边在( )
A．x轴的正半轴上 B．y轴的正半轴上 C．x轴的负半轴上 D．y轴的负半轴上 5．若?是第三象限角，则
?是( ) 2A．第一或第三象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第一或第四象限角 6．终边是坐标轴的角的集合是( ) A．S?{?C．S?{???k?360o,k?Z} B．S?{???k?180o,k?Z} ??90o?k?180o,k?Z} D．S?{???k?90o,k?Z}
?47．终边在第一、三象限的平分线上的角可表示为( ) A．{?|??k??,k?Z} B．{?|??k??,k?Z} D．{?|???4,k?Z}
C．{?|??2k???4k???,k?Z} 248．已知圆的半径为2cm，弧长为4cm的圆弧所对的圆心角为( )
A．4弧度 B．2弧度 C．1弧度 D．3弧度 9．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
2?? B. C．3 D．2
3311?10．把?表示成2k???(k?Z)的形式，使?最小的?的值是( )
43??3??A．? B．? C． D．
4444A．
（二）填空题：
1．与?1830?的角终边相同的最小正角是 ,与670的角终边相同的绝对值最小的角是 ．
2．若角?与角?的终边在一条直线上，则?与?的关系是 ． 3．若角???20?k?180在?720:360间，则整数k的值是 ． 4．终边落在直线y??3x上的角的集合是 . 5．经过5小时25分钟,时针和分针分别转的弧度数是 ． 6．设?、?满足?oooooo?2??????2,则???的范围是 ．
7．已知α＝－2 017°，则与角α终边相同的最小正角为________，最大负角为________．
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50π
8．已知某扇形的半径为10，面积为3，那么该扇形的圆心角为________． （三）解答题：
1．在直角坐标系中0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们各是哪个象限的角．
(1)—45°； (2)760°； (3)—480°．
2．将下列各度化为弧度．
(1)60°； (2)90°； (3)45°； (4)30°； (5)135°； (6)120°； (7)—30°； (8)—60°； (9)—45°； (10)—90°； (11)—180°； (12)—270°．
3．将下列各弧度化为度．
3?2???； (2)； (3) ； (4)； 4323??3?(5)； (6)； (7)? (8)?；
642(1)
5．已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
6．若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
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6．如图所示，现有一块正三角形土地ABC（如图所示），其边长为2百米，现拟在三
?、EF?与DE?分别相切个顶点处分别修建扇形广场，即扇形DBE，DAG和ECF，其中DG?与EF?无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪. 设BD长为x（单位：于点D、E，且DG百米），草坪面积为S（单位：百米2）．
(1)试用x分别表示扇形DAG和DBE的面积，并写出x的取值范围； (2)当x为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积．
4.2 任意角的三角函数
一、考纲要求：
1．理解正弦、余弦、正切函数的定义，了解余切、正割、余割函数的定义； 2．熟记三角函数在各象限的符号，牢记特殊角的三角函数值． 二、知识要点：
1．任意角三角函数的定义：
在平面直角坐标系中，角?终边上任意一点P(x,y)与原点的距离|OP|＝r?yxy则有sin α＝，cos α＝，tan α＝，分别是?的正弦、余弦、正切函数．
rrx2．三角函数求值步骤：
S1 在直角坐标系xOy中，做转角等于α；
S2 在α的终边上任找点P，并量出该点的横坐标x和纵坐标y，则|OP| r＝?x2?y2；S3 根据三角函数的定义，求三角函数的值 3．单位园与三角函数线：
半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)，A?(-1,0)，与y轴的交点分别为B(0,1)，B?(0,-1)．设角?的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于M，设单位圆在点A的切线与?的终边或其延长线相交于点T(T?)，则
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【2021对口单招复习讲义】模块04：三角函数
