2019年温州乐清中学提前自主招生选拔模拟考试
数学试题参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分48分，每小题6分） 1．方程（x2+x﹣1）x+3＝1的所有整数解的个数是（ ） A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【解析】（1）当x+3＝0，x2+x﹣1≠0时，解得x＝﹣3； （2）当x2+x﹣1＝1时，解得x＝﹣2或1．
（3）当x2+x﹣1＝﹣1，x+3为偶数时，解得x＝﹣1 因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个． 故选：B． 2．如果A．15
，p，q是正整数，则p的最小值是（ ）
B．17
C．72
D．144
【解析】由题意得，p＜q＜p，
如果p＝15，则此时13.325＜q＜13.33，q没有正整数值； 如果p＝17，则此时14.875＜q＜15.111，q可取15； 如果p＝72，则此时63＜q＜64，q没有正整数值； 如果p＝144，则此时126＜q＜128，q可取127； 综上可得p的最小值为17． 故选：B．
3．如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3 A2B2，顶点P3在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为（ ）
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A．（）
，） D．（
，
B．（）
，） C．（，
【解析】作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，如图所示：
设P1（a，），则CP1＝a，OC＝， ∵四边形A1B1P1P2为正方形， ∴∠A1B1P1＝90°，
∴∠CB1P1+∠OB1A1＝90°，
∵∠CB1P1+∠CP1B1＝90°，∠OB1A1+∠OA1B1＝90°， ∴∠CB1P1＝∠OA1B1， 在△P1B1C和△B1A1O中，∴△P1B1C≌△B1A1O（AAS）， 同理：△B1A1O≌△A1P2D， ∴OB1＝P1C＝A1D＝a， ∴OA1＝B1C＝P2D＝﹣a， ∴OD＝a+﹣a＝， ∴P2的坐标为（，﹣a），
把P2的坐标代入y＝（x＞0）得：（﹣a）?＝2， 解得：a＝﹣1（舍去）或a＝1， ∴P2（2，1），
设P3的坐标为（b，），
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，
又∵四边形P2P3A2B2为正方形， 同上：△P2P3F≌△A2P3E， ∴P3E＝P3F＝DE， ∴OE＝OD+DE＝2+， ∴2+＝b， 解得：b＝1﹣∴＝
＝
（舍去），b＝1+﹣1，
+1，
﹣1）．
，
∴点P3的坐标为 （故选：A．
4．将四个编号为1，2，3，4的小球随机放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．记f（i）为第i个盒子中小球的编号与盒子编号的差的绝对值．则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4的概率为（ ） A．
B．
C． D．
【解析】
共有24种情况，满足f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4的有7种， 则概率为：故选：D．
，
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4
，那么BC的长等于（ ）
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A．3【解析】
B．5 C．2
D．
如图，作EQ⊥x轴，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，3）．
设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心， ∴AB＝BE，∠ABE＝90°， ∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBQ＝90°， ∴∠BAC＝∠EBQ， 在△ABC和△BEQ中，
∴△ACB≌△BQE（AAS）， ∴AC＝BQ＝3，BC＝EQ， 设BC＝EQ＝x， ∴O为AE中点，
∴OM为梯形ACQE的中位线， ∴OM＝
，
， ，
＝），
，
又∵CM＝CQ＝∴O点坐标为（
根据题意得：OC＝4
解得x＝4，则BC＝5． 故选：B．
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6．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ） A．
B．
C．
D．
【解析】设直角三角形的两条直角边是a，b，则有： S＝又∵r＝
， ，
∴a+b＝2r+c， 将a+b＝2r+c代入S＝又∵内切圆的面积是πr2， ∴它们的比是故选：B．
7．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（ ） A．
得：S＝r＝r（r+c）．
．
B．
C．
D．
【解析】方法1、∵方程有两个不相等的实数根， 则a≠0且△＞0，
由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0， 解得﹣＜a＜， ∵x1+x2＝﹣
，x1x2＝9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
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2019年温州乐清中学提前自主招生选拔模拟考试数学试题及参考答案(含详解)
