浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列
第二讲 普通最小二乘估计量 一、基本概念：估计量与估计值
对总体参数的一种估计法则就是估计量。例如，为了估计总体均值为u，我们可以抽取一个容量为N的样本，令Yi为第i次观测值，则u的一个很自然的
??Y?估计量就是u?Y。A、B两同学都利用了这种
iNA估计方法，但手中所掌握的样本分别是(y1A,y2A,...,yN)B与(y1B,y2B,...,yN)。A、B两同学分别计算出估计值
?A?u?yiAN?B?与u?yiBN? 。因此，在上例中，估计量u?A,u?B是该随机变量可能的取值。是随机的，而u估计量
所服从的分布称为抽样分布。
如果真实模型是：y??0??1x??，其中?0,?1是待估计的参数，而相应的OLS估计量就是：
???1?(x?x)y?(x?x)i2ii??y???x ;?01我们现在的任务就是，基于一些重要的假定，来考察上述OLS估计量所具有的一些性质。
二、高斯-马尔科夫假定
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●假定一：真实模型是：y??0??1x??。有三种
情况属于对该假定的违背：（1）遗漏了相关的解释变量或者增加了无关的解释变量；（2）y与x间的关系是非线性的；（3）?0,?1并不是常数。
●假定二：在重复抽样中，(x1,x2,...,xN)被预先固定
下来，即(x1,x2,...,xN)是非随机的（进一步的阐释见附录），显然，如果解释变量含有随机的测量误差，那么该假定被违背。还存其他的违背该假定的情况。
笔记：
(x1,x2,...,xN)是随机的情况更一般化，此时，高斯-马尔科夫假定二被更改为：对任意i,j,xi与?j不相关，此即所谓的解释变量具有严格外生性。显然，当(x1,x2,...,xN)非随机时，xi与?j必定不相关，这是因为?j是随机的。
●假定三：误差项期望值为0，即
E(?i)?笔记：
1、当(x1,x2,...,xN)随机时，标准假定是：
E(?ix1,x2,...,xN)?0,i?1,2,...,N
0i?,1,。N2
根据迭代期望定律有：E[E(?ix1,x2,...,xN)]?E(?i),因
此，如果E(?ix1,x2,...,xN)?0成立，必定有：E(?i)?0。
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另外，根据迭代期望定律也有：
E[E(?ixjx1,x2,...,xN)]?E(?ixj)
而E(?ixjx1,x2,...,xN)?xjE(?ix1,x2,...,xN)。故有：?E(?i)?0E(?ix1,x2,...,xN)?0???E(?ixj)?0?Cov(?i,xj)?E(?ixj)?E(?i)E(xj)?0
因此，在(x1,x2,...,xN)是随机的情况下，假定二、三可以
修正为一个假定：E(?ix1,x2,...,xN)?0。
2、所谓迭代期望定律是指：如果信息集???，则有
?)?]?E[E(XE(X?)。为了理解上述等式，考虑一个极端
情况：?包含了全部的信息，此时X丧失了随机性，故
E(X?)?X，因此必有E[E(X?)?]?E(X?)。无条件期
望所对应的信息集是空集，因此E[E(X?)]?E(X)。
3、回忆第一讲，对模型y??0??1x??，在OLS法下
我们一定能保证:(1)残差均值为零;(2)残差与x样本不相关。残差是对误差的近似，如果假定二、三不成立，即误差项与解释变量相关，误差项期望值不为零，显然此时残差并不是对误差项的有效的近似，换句话说，此时OLS估计量是有严重问题的。因此，假定二、三非常重要。
●假定四：??2??2，即所谓的同方差假定。
i笔记：
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在(x1,x2,...,xN)是随机的情况下，该假定修订为：
Var(?ix1,x2,...,xN)??
2●假定五：Cov(?i,?j)?0,i?j，即所谓的序列不
相关假定。
笔记：
在(x1,x2,...,xN)是随机的情况下，该假定修订为：
Cov(?i,?jx1,x2,...,xN)?0 ,i?j
●假定六：?(xi?x)2?0，在多元回归中，该假
定演变为X?X的逆存在，即各解释变量不完全共线。
三、高斯-马尔科夫定理
当高斯-马尔科夫假定成立时，在所有线性无偏估计量中，OLS估计量方差最小。或者说，OLS估计量是最优线性无偏估计量（best linear unbiased estimator,BLUE）。这被称为高斯-马尔科夫定理。 （一）OLS估计量是线性估计量
所谓OLS估计量是线性估计量，是指它能够被表示为yi的线性函数。例如：
??[?1?xi?x?(xi?x)2]yi??kiyi
注意，在假定二下，ki是非随机的。
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?表示成y的线性函数。 练习：把?0i笔记：
线性意味着简单，简单意味着普通。因此有称谓“普通最小二乘法”。二乘即为平方，故OLS即为“简单的最小平方法”。
?)?? ?)??；E(?（二）OLS估计量具有无偏性：E(?0011?)??： 证明E(?11??[?1?xi?x?(xi?x)2]yi??kiyi??ki(???1xi??i)
0?)???E(?k??1?kixi??kiE(?i)
0?i1而?ki?0；?kixi?1。因此在重要假定三：E(?i)?0
?)??。 下，有：E(?11笔记：
在(x1,x2,...,xN)是随机的情况下，我们需证：
?x,x,...,x)?? E(?112N1
?)?? 练习：证明E(?00（三）在所有线性无偏估计量中，OLS估计量方差最小
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计量经济学讲义第二讲（共十讲）
