向量法证明立体几何中平行和垂直问题
◇ 山东 李成玉
【期刊名称】高中数理化 【年(卷),期】2012(000)023 【总页数】1 【
文
献
来
源
】
https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_high-school-
mathematics_thesis/0201218527137.html
类型1 利用空间向量证明线线平行和垂直问题
例1 如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( ).
AAC;B BD;CA1D ;DA1A
选B .以D 为原点建立空间直角坐标系,用空间向量的坐标方法可证
变式 已知△ABC 在平面α内,∠A＝90°,DA ⊥平面α,则直线CA 与DB的位置关系是_______.
因为DA ⊥平面ABC ,且∠A＝90°,从而如图2建系.采用向量法易案:垂直. 类型2 向量法证明线面平行和垂直问题
例2 如图3已知平行四边形ABCD,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别为PC、PB 的中点;求证:MN∥面PAB.
变式1 已知四边形ABCD是正方形,S是平面ABCD外一点,且SA＝SB＝SC＝SD ,SP∶PD＝1∶2,SN∶NA＝2∶1,SM∶MC＝2∶1.求证:SB ∥平面PMN. 证明 如图4,连接AC与BD交于O,连接SO,易证SO⊥平面ABCD,因为四边形ABCD为正方形,可知
变式2 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD 垂直于底面ABCD,PD＝DC,E是PC 的中点,作EF⊥PB 于点F.证明: (1)PA ∥平面EDB; (2)PB ⊥平面EFD.
建立如图5所示的空间直角坐标系.D是坐标原点,设DC＝a. (1)连接AC,AC交BD于G,连接EG,依题意得D (0,
因为底面ABCD是正方形,所以G是此正方形的中心,故点G的坐标
从上述问题中可以看到,在解决立体几何中的平行和垂直问题时,仍然离不开立体几何中的定理,同时一定要善于运用向量的代数属性,能融数形于一体的属性.通过代数的方法解决立体几何的空间问题,降低了立体几何的空间难度,给学生一个比较低的门槛,从而是立体几何的证明问题降低了难度,是我们值得掌握的好方法. 【
文
献
来
源
】
https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_high-school-
mathematics_thesis/0201218527137.html
向量法证明立体几何中平行和垂直问题
