第25讲 狭义相对论续 第26讲 多自由度体系的振动
之前讲述了一维线性弹簧以及小角度单摆的运动，它们都可以视为一维的简
谐振动。这样的体系仅有一个自由度，也就是说只需要用一个变量来描述。如弹簧可以用伸长量来描述。单摆可以用摆动的角度来描述。这都是比较简单的情况。经常我们会遇到多自由度的弹性物理体系，也就是说需要用多个独立变量来描述的物理体系。
如下图所示，两个相同质量的小球用三个相同的弹簧联系起来，其中两边的弹簧固定在两边的墙上。如要描述这个体系的运动，一个方便的方式是使用两个小球对平衡位置的偏移量??1,??2来描述。这两个变量是相对独立的，因此这个体系的自由度为2。容易得到体系的运动方程为
?????1=?????1+??(??2???1)=2????1+????2
?????2=????1?2??2
将两个方程相加得到
??(???1+???2)=???(??1+??2) ??(???1????2)=?3??(??1???2)
重新定义变量??1,??2为
??1=??1+??2 ??2=??1???2
则??1,??2的方程为
?????1=?????1 ?????2=?3????2
于是发现??1,??2的方程为简谐振动方程，其解为
??
√()??1=??1sin??1??+?? ??1= ??3??
??2=??2sin(??2??+??) ??2=√ ??其中??1,??2,??,??为积分常数。因此原变量??1,??2的解为
??1=
1??1??2(??1+??2)=sin(??1??+??)+sin(??2??+??) 2221??1??2
??2=(??1???2)=sin(??1??+??)?sin(??2??+??)
222
最后得到的一般解说明这个体系中的每个小球的运动是两种简谐振动的叠加，每种振动所占比例以及振动相位是由初始条件决定的。这两种简谐振动被称为体系的简正振动模式（normal modes）。两种简正模式的振动频率称为简正频率。
如果将初始条件设为
??1(0)=??2(0)=?? ???1(0)=???2(0)=0
则得到体系的解为
??1=??2=??sin(??1??)
这时候可以看到体系中两个小球在同步运动，其运动方向和位移大小都是相同的。这种时候中间的弹簧长度保持原长不变，也就是说中间的弹簧没有起作用，对于每个小球来说仅受到了一个弹簧的弹力，因此这时候的振动与单弹簧的时候一样，具有相同的振动频率。而如果将初始条件设为
??1(0)=?? ??2(0)=??? ???1(0)=???2(0)=0
则得到体系的解为
??1=??sin(??2??) ??2=???sin(??2??)
这时候体系中两个小球始终在做反向运动，其位移大小相同，但运动方向相反。中间的弹簧长度的变化是两边弹簧长度变化的两步，对于每个小球来说等于受到了三个弹簧的弹力，因此这时候的振动如同受到了一个弹性系数是原来三倍的单弹簧的作用，其振动频率为√3??。
在将弹性体系的自由度增加的时候（比如为??）可以一般性的证明体系会具
??
有??个简正模式，也就是说会有??个不同频率的振动模式。每个自由度的运动都是这??种简正模式的叠加。
??
????=∑??????sin(??????+????)
??=1
通过适当的组合这些自由度可以得到新的变量，这些新变量会和之前讨论两自由度问题时候的??一样，每个变量仅对应一种简正模式。在线性代数中这对应于二项式对角化问题。
现实中的多数多自由度体系并不像前面讨论的那样用多个线性弹簧联系起
来。但是当体系具有稳定平衡态的时候，当体系在平衡态附近做微小的运动总是可以近似当作线性弹性体系的。这是因为在稳定平衡态附近足够小的区域体系总是会受到回复力的作用以保持体系的稳定平衡特性。并且在足够小的变化下这个回复力可以近似为线性的。
固体可以作为一个典型的例子。在固体中原子不能随意运动，每个原子都有
它的特定平衡位置，这些位置形成了有序或者无序的网格结构。每个原子只能在网格的格点位置附近做振动。这些振动也是由简正模式组成的。通过研究这些简正模式的构成就是研究固体特性的重要手段之一。
考虑一个一维多自由度的弹性体系，它由多个弹簧和多个小球组成。当弹簧
和小球的数目增多的时候，体系的简正模式会越来越多，简正频率也越来越多。当体系中弹簧的数目增加到无穷大的时候，简正频率也变得无穷多，这时候体系的运动就由振动变成了波。比如一根琴弦，它可以当作无穷多的弹簧连接到一起形成的。从这个角度看，琴弦的运动就是振动的叠加。由于在这样的考虑下琴弦也是由无穷多个相互紧挨的小球组成的，这些小球的振动整体来看就是波动。
第26讲：多自由度振动体系
