课时作业28 数列的概念与简单表示法 [基础达标] 一、选择题 1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于( ) ?－1?n＋1nπA. B．cos2 2n＋1n＋2C．cos2π D．cos2π 解析：令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D项正确． 答案：D 2．[2019·重庆一中期末]已知数列{an}满足a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，则{an}(n≥2)的通项公式为an＝( ) A．2n－1 B．2n－2 C．2n＋1－3 D．3－2n 解析：∵Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，∴n≥3时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥3)，易得a2＝1，∴an＝2n－2(n≥2)，故选B项． 答案：B 1213214323．[2020·河南安阳模拟]已知数列：1，1，2，1，2，3，1，2，3，1…，依它的前10项的规律，这个数列的第2 018 项a2 018等于( ) 4，11A.31 B.63 63C．64 D.2 1213214321解析：观察数列：1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，…，可将它?1??21?*??分成k(k∈N)组，即第1组有1项1，第2组有2项?1，2?，第3组?????321?有3项?1，2，3?，……，所以第k组有k项，各项的分子从k依次减??k?k＋1?小至1，分母从1依次增大到k，所以前k组共有2项，令2 018
k?k＋1?＝2＋m(k∈N*,1≤m≤k，m∈N*)，可得k＝63，m＝2，∴该数63列的第2 018项a2 018为第64组的第2项，故a2 018＝2，故选D. 答案：D 4．[2019·甘肃兰州期中]已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋3n(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝( ) 3n＋1－93n＋1－7A.2 B.2 3n－73n－9C.2 D.2 解析：∵a1＝1，an＝an－1＋3n(n≥2，n∈N*)，∴a2－a1＝32，a3－a2＝33，a4－a3＝34，…，an－an－1＝3n，累加得an－1＝32＋33＋…3n＋1－7＋3n，∴an＝2，故选B项． 答案：B 5．[2020·天津一中月考]在各项均为正数的数列{an}中，a1＝2，22anSn为{an}的前n项和，若Sn＝242，则n＝( ) ＋1－2an＋1an－3an＝0，A．5 B．6 C．7 D．8 2解析：由a2n＋1－2an＋1an－3an＝0，得(an＋1－3an)(an＋1＋an)＝0，即an＋1＝3an或an＋1＝－an，又{an}各项均为正数，所以an＋1＝3an.因为a1＝2，an＋1＝3an，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数2?1－3n?列，则由Sn＝＝242，解得n＝5，故选A项． 1－3答案：A 6．[2020·湖北武汉武昌实验中学月考]两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为5,9,14,20，…，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为{an}，则( ) A．an＋1＋an＝n＋2 B．an＋1－an＝n＋2 C．an＋1＋an＝n＋3 D．an＋1－an＝n＋3
解析：由已知可得a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6，…，由此可以得到an＋1－an＝n＋3.故选D项． 答案：D 7．[2020·吉林辽源月考]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn－Sn＋1＝Sn·Sn＋1(n∈N*)，则Sn＝( ) A．n B．n＋1 11C.n D. n＋1111解析：∵Sn－Sn＋1＝Sn·Sn＋1(n∈N*)，∴－S＝1.∵a1＝1，∴Sn1Sn＋1?1?11??＝1，∴S是首项为1，公差为1的等差数列，∴S＝n，∴Sn＝n，?n?n故选C项． 答案：C 8．[2020·上海第七中学月考]在数列{an}中，已知a1＝1，且数列{an}的前n项和Sn满足4Sn＋1－3Sn＝4，n∈N*，则an＝( ) 3n－13nA.(4) B.n－1 43n3nC．4－n－1 D．4＋n－1 443解析：∵4Sn＋1－3Sn＝4，∴Sn＋1－4＝4(Sn－4)，∴{Sn－4}是公比33n为4的等比数列，又a1＝1，∴S1－4＝－3，∴Sn－4＝－n1，∴Sn＝4－3n34－n1，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(4)n－1，又a1＝1满足上式，∴4－3n－1*对一切n∈N，an＝(4)，故选A项． 答案：A 19．[2020·辽宁锦州八中月考]已知数列{an}满足：a1＝7，对任意7正整数n，an＋1＝2an(1－an)，则a2 019－a2 018＝( ) 43A.7 B.7 43C．－7 D．－7
17363解析：∵a1＝7，an＋1＝2an(1－an)，∴a2＝7，a3＝7，a4＝7，a5663＝7，…，∴n≥2时，{an}的奇数项为7，偶数项为7，∴a2 019－a2 018633＝7－7＝7，故选B项． 答案：B 10．[2020·山西河津二中月考]设数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…nn－1＋2an＝2(n∈N*)，则{an}的通项公式为an＝( ) 11A.2n B.n－1 211C.2n D.n＋1 2n2n－1解析：∵a1＋2a2＋2a3＋…＋2an＝2(n∈N*)，∴易知n≥2时，11112n－1an＝2，又a1＝2，∴对一切n∈N*,2n－1an＝2，∴an＝2n，故选C项． 答案：C 二、填空题 n，那么这个数列是n＋1________数列．(填“递增”或“递减”或“摆动”) x1解析：法一 令f(x)＝，则f(x)＝1－在(0，＋∞)上是增x＋1x＋111．若数列{an}的通项公式为an＝函数，则数列{an}是递增数列． n＋1n1法二 ∵an＋1－an＝－＝>0， n＋2n＋1?n＋1??n＋2?∴an＋1>an，∴数列{an}是递增数列． 答案：递增 12．[2020·湖北八校联考]已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n∈N*，n≥2)，若a4＝65，则a1＝________. 解析：∵an＝2an－1＋2n－1(n∈N*，n≥2)，a4＝65，∴2a3＋24－1＝65，得a3＝25，∴2a2＋23－1＝25，得a2＝9，∴2a1＋22－1＝9，得a1＝3.
答案：3 13．[2019·辽宁大连期中]数列{an}的前n项和Sn＝2n，则an＝________. 解析：∵Sn＝2n，∴n≥2时，an＝2n－2n－1＝2n－1，又a1＝2，不?2，n＝1，满足上式，∴an＝??2n－1，n≥2.??2，n＝1，答案：an＝?n－1 ?2，n≥2? n－714．[2020·湖北武汉部分重点中学联考]已知an＝(n∈N*)，n－52设am为数列{an}的最大项，则m＝________. 52－7解析：an＝＝1＋(n∈N*)，根据函数的单调性知，n－52n－52当n≤7或n≥8时，数列{an}为递减数列．因为当n≤7时，an<1，当n≥8时，an>1，所以a8为最大项，可知m＝8. 答案：8 [能力挑战] 15．[2020·北京海淀月考]已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满Sn2an*足f(2－x)＝f(x)，f(－1)＝1.数列{an}满足a1＝－1，＝＋1(n∈N)，nn其中Sn是数列{an}的前n项和，则f(a5)＋f(a6)＝( ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 Sn2an解析：∵n＝n＋1，∴Sn＝2an＋n，∴n≥2时，an＝2an－2an－1＋1，即an＝2an－1－1，∴an－1＝2(an－1－1)，又a1＝－1，∴a1－1＝－2，∴{an－1}是首项为－2，公比为2的等比数列，∴an－1＝－2n，即an＝1－2n，∴a5＝－31，a6＝－63.又f(－x)＝－f(x)，f(2－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(－31)＝f(1)＝－1，f(－63)＝f(1)＝－1，∴f(a5)＋f(a6)＝－2，故选A项． 答案：A 16．[2020·福建泉州一中检测]已知数列{an}的通项公式为an＝
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2021全国统考数学(理)人教版一轮 28 数列的概念与简单表示法
