第2课时 异分母分式的加减
母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个 单项式．
1．学会确定几个分式的最简公分母并
进行通分；(重点)
2．能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点，难点)
解：(1)最简公分母是2b2d，acacd＝； 2b22b2d
(2)最简公分母是
6a2bc2，
b3b2c＝，2a2c6a2bc2
c2bc＝，bd2b2d
一、情境导入
小学我们学习过异分母分数的加减法，111×21×35如＋＝＋＝，那么如何计算323×22×2612－呢？ x＋1x－1
二、合作探究
探究点一：分式的通分 【类型一】 最简公分母
分式
12
与的最简公分母x2－3xx2－9
2a4a3
＝； 3bc26a2bc2 4
(3)最简公分母是10xy2z2，2＝
5yz－25y28xz33z25
，＝，＝－. 10xy2z210xy210xy2z2－2xz210xy2z2方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．
【类型三】 分母是多项式分式的通分 通分．
a1
(1)，2； 2（a＋1）a－a2mn3m(2)2，2. 4m－94m－6m＋9
解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．
解：(1)最简公分母是2a(a＋1)(a－1)，
a2（a－1）a
＝，
2（a＋1）2a（a＋1）（a－1）2（a＋1）1
＝； a2－a2a（a＋1）（a－1）(2)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2， 2mn（2m－3）2mn
＝，
4m2－9（2m＋3）（2m－3）2
3m（2m＋3）3m
＝. 4m2－6m＋9（2m＋3）（2m－3）2
方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母
是________．
解析：∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴最简公分母为x(x＋3)(x－3)．
方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．
【类型二】 分母是单项式分式的通分 通分．
cac(1)，2； bd2bb2a(2)2，2； 2ac3bc435(3)2，，. 2
5yz10xy－2xz2
解析：先确定最简公分母，找到各个分
的商．
探究点二：异分母分式的加减法
【类型一】 异分母分式的加减法运算 计算： (1)x2x2－4－x2＋4x＋4
； (2)a2－4a＋2＋a＋2； (3)mm－n－nm＋n＋2mnm2－n
2. 解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a＋2看成分母为1的式子进行通分．
解：(1)原式＝x
（x＋2）（x－2）－
2
（x＋2）2
＝
x（x＋2）（x＋2）2（x－2）
－
2（x－2）
（x＋2）2（x－2）
＝
x（x＋2）－2（x－2）（x＋2）2（x－2）
＝
x2＋4
（x＋2）2（x－2）
；
式＝a2－4＋（a＋2）2
(2)原a＋2＝
2a（a＋2）
a＋2
＝2a；
(3)原式＝
m（m＋n）
（m＋n）（m－n）
－
n（m－n）2mn
（m＋n）（m－n）＋
（m＋n）（m－n）＝m2＋2mn＋n2（m＋n）（m－n）＝m＋nm－n
. 方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．
【类型二】 分式的混合运算 计算：
(1)(x2－4x＋4xx－1x2－4－x＋2)÷x＋2；
(2)a－5162a－6÷(a－3
－a－3)． 解：(1)原式＝[（x－2）2
（x－2）（x＋2）－
xxx＋2]÷－1x＋2
＝(x－2x＋2－xx＋2)÷x－1x＋2＝－2x＋2·x＋2x－1＝－2x－1
； (2)原式＝a－516a2－9
2a－6÷(a－3－a－3)
＝a－52（a－3）÷（5＋a）（5－a）a－3 ＝a－5a－32（a－3）·（5＋a）（5－a） ＝－1
10＋2a
.
方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．探究点三：分式运算的化简求值
【类型一】 先化简，再根据所给字母的值求分式的值 先化简，再求值：(1
x－y＋
1x＋y)÷2xx2＋2xy＋y2
，其中x＝1，y＝－2. 解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最后代值计算．
解：原式＝2x
（x－y）（x＋y）·（x＋y）22x＝x＋yx－y
，
当x＝1，y＝－2时，原式＝
1＋（－2）
1－（－2）＝－13
. 方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺
序，式子化到最简再代值计算．
【类型二】 先化简，再选择字母的值求分式的值 先化简，再选择使原式有意义的数代入求值：2x＋6x－21
x2－4x＋4·x2＋3x－x－2.
解析：先把分式化简，再选数代入，x可取除－3、0和2以外的任何数．
解：原式＝2（x＋3）（x－2）2·x－21
x（x＋3）－x－2
＝
2x（x－2）－1
x－2
＝2－xx（x－2） ＝－1x
.
当x＝1时，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何数)
方法总结：取数代入求值时，要注意所选择的值一定满足分式分母不为0，这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意义．
【类型三】 整体代入求值 已知实数a满足a2＋2a－8＝0，a＋3a2求1
a＋1－a2－1·－2a＋1（a＋1）（a＋3）的值． 解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解进行约分，然后进行减法运算，最后整体代值计算．
解：1
a＋3a2－2a＋1a＋1－a2－1·（a＋1）（a＋3）＝
1a＋1
－
a＋3（a－1）2
（a＋1）（a－1）·（a＋1）（a＋3）＝
1a－a＋1－1（a＋1）2＝2（a＋1）2＝2a2＋2a＋1. ∵a2＋2a－8＝0，∴a2＋2a＝8，∴原式＝28＋1＝29. 方法总结：利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．
探究点四：运用分式解决实际问题
有一客轮往返于重庆和武汉之
间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b千米/小时(b＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？
解析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可．
解：设两次航行的路程都为s.
第一次所用时间为ss
v＋a＋v－a＝
2vs
v2－a2
， 第二次所用时间为sv＋b＋sv－b
＝2vs
v2－b2
， ∵b＞a，∴b2＞a2， ∴v2－b2＜v2－a2，
∴2vs2vsv2－b2＞v2－a
2. ∴第一次的时间要短些．
方法总结：①运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键；②比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小．
三、板书设计 1．分式的通分
2．异分母分式的加减法：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．
3．分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的．
八年级数学下册 异分母分式的加减教案
