??(1?n?0?1)xn………………6分 n?12成立范围|x|?1………………7分
四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1. 抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上任一点P的坐标为P(x,y,z)，P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为x2?y2?z2，………………1分 构造拉格朗日函数
F?x2?y2?z2??(x2?y2?z)??(x?y?z?1)………………2分
?Fx?2x?2x????0?F?2y?2y????0?y?F?2z?????0………………4分 ?z?F?x2?y2?z?0????F??x?y?z?1?01解得x?(?1?3)………………5分
213131313?(??,??,2?3),P?(??,??,2?3) 得两个驻点为P1222222222…………………6分
所以最短距离为?9?53，最短距离为9?53………………7分
(?1)nnxn 2. 求幂级数?的和函数。
n?1(n?1)!?xn(?1)nxn?x解：因为e??，所以e??，………………1分
n!n!n?0n?0x??(?1)nnxn(?1)n(n?1?1)xnS(x)????………………2分
(n?1)!(n?1)!n?0n?0?(?1)nxn?(?1)nxn????………………3分
n!(n?1)!n?0n?0?(?1)nxn?e?x………………4分 ?n!n?0?(?1)nxn1?(?1)nxn?11?(?1)n?1xn?1??????(n?1)!x(n?1)!xn?0(n?1)!n?0n?0?1?(?1)nxn1??(?1)nxn?????????1? (x?0)…………5分
xn?1n!x?n?0n!?11?(?1)nxn11?x?????exxn?0n!xx所以
1故S(x)?e?x?(1?e?x)x(x?0)……6分
当x?0时，S(x)?0。………7分
另解：
(?1)nnxn1?(?1)nnxn?11??(?1)nxn?当x?0时，??????xdx? ?0(n?1)!x(n?1)!x(n?1)!n?1n?1n?1???当x?0时，S(x)?0。
3. 设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)?1，g(0)?0，L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D，已知
??xydx?[yf(x)?g(x)]dy???yg(x)d?，
LD求f(x)和g(x)。 解：由格林公式得
??[yf'(x)?g'(x)?x]dxdy???yg(x)dxdy………………2分
DD即??[yf'(x)?g'(x)?x?yg(x)]dxdy?0………………3分
D由于区域的任意性，yf'(x)?g'(x)?x?yg(x)?0………………4分 又由于y的任意性，有f'(x)?g(x)，g'(x)?x……………5分
x2又由f(0)?1，g(0)?0得， g(x)?………………6分
2x3所以f(x)??1………………7分
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高等数学下试题及参考答案1
