②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)∴f(-y)=f(y) ∴y=f(x)是偶函数
?x2?x?4 , x?0,??x8．已知函数f(x)??
2? ?x?x?4, x?0.?x?(1) 求证: 函数是偶函数;
(2) 判断函数分别在区间、上的单调性, 并加以证明; (3) 若, 求证: . 解: (1) 当时, , 则
x2?x?4(?x)2?(?x)?4f(x)?,f(?x)??
x(?x)∴………(2分)
当时, , 则
x2?x?4(?x)2?(?x)?4f(x)??,f(?x)??,
x(?x)∴
综上所述, 对于, 都有, ∴函数是偶函数.………(4分)
x2?x?44?x??1, (2) 当时, f(x)?xxx?x1(x1?x2?4)………(6分) 设, 则f(x2)?f(x1)?2x1?x2当时, ; 当时, ,
∴函数在上是减函数, 函数在上是增函数.………(8分) (3)由(2)知, 当时, ,………(9分)
又由(1)知, 函数是偶函数, ∴当时, ,………(10分) ∴若, , 则, ,………(11分) ∴, 即.………(12分)
9．函数在上是增函数，求的取值范围．
分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息：①对任意的总有；②当时，恒成立． 解：∵函数在上是增函数，∴对任意的有 ，即log9(x1?8?aa)?log9(x2?8?)，得，即 x1x2，∵，∴ ，
∵，∴要使恒成立，只要； 又∵函数在上是增函数，∴， 即，综上的取值范围为．
另解：（用导数求解）令，函数在上是增函数， ∴在上是增函数，， ∴，且在上恒成立，得．
江苏省赣马高级中学高三数学《不等式》作业
1．(xx年高考·江西卷·理13文13)若函数f(x)?logn(x?x2?2a2)是奇函数，则a= 2．（xx·宁夏）设函数为奇函数，则（） A．0 B．1 C． D．5
3．（xx·福建）定义在R上的偶函数满足，当时， 则（ ） A．f(sin)
C．f(cos)
4．（xx·天津·12）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，
则的值为 （ ） A． B． C． D．
5．（xx·湖南）若与在区间上都是减函数，则的值范围是（ ） A． B． C．（0，1）D．
26．（xx·湖北）函数f(x)?a?loga(x?1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值
为（ ）A． B． C．2 D．4
7． (xx年高考·上海卷·理13文13)若函数，则该函数在上是（ ）
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
8．设f（x）的定义域为关于坐标原点对称的区域，则f（0）＝0是f（x）为奇函数的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 正确答案： （D）
错因分析：f（x）为奇函数，在0属于定义域内的值时，则有f（0）＝0。而定义域为关于坐标原点对称的区域，并不能提供上述“0属于定义域内的值”条件，如；f（0）＝0不能说明f（x）为奇函数，如定义域为。注意和下列问题相比较。
9．设f（x），则f（0）＝0是f（x）为奇函数的 （ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 正确答案：（C）
原因分析：f（x）的图像本身是中心对成图形，f（0）＝0说明原点是其中的一个对成中心， f（x）是奇函数；f（x）为奇函数，图像必过原点，f（0）＝0。 10．函数是奇函数的充要条件是( )
22
A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a+b=0 正确答案：D
原因分析：不知道是一种恒等式。不知道运用f（0）＝0解题。 11． 的递增区间是_____________。
12．函数 （ ）
（A）是奇函数，不是偶函数 （B）是偶函数，不是奇函数 （C）既不是偶函数，也不是奇函数 （D）既是偶函数，又是奇函数
13．定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。
解：令x1=x2=0则f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0
令x1=x x2= -x则f(0)=f(x)+f(-x) ∴f(-x)= - f(x) ∴y=f(x)是奇函数
2
14．(xx年高考·浙江卷)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x＋2x． (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(Ⅲ)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围． 解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则
?x0?x?0,??x0??x,?2 即??y?yy??y.?0?0,?0??2∵点在函数的图象上
∴?y?x2?2x，即y??x2?2x, 故g?x???x2?2x (Ⅱ)由g?x??f?x??x?1， 可得2x2?x?1?0 当时，，此时不等式无解 当时，，解得
因此，原不等式的解集为
（Ⅲ）h?x????1???x2?2?1???x?1
①当???1时，h?x??4x?1在??1,1?上是增函数，
②当???1时，对称轴的方程为x?1??. 1??1??ⅰ）当???1时,??1,解得???1.
1??1??ⅱ）当???1时,??1,解得?1???0.
1??
14．已知函数f(x)?sin(x??)?cos(x??)的定义域为R. (1) 当时, 求的单调递增区间; (2) 设, 若为偶函数, 求的值. 解: (1) 当时, f(x)?sin(x????)?cos(x?)?2sin(x?)……(3分) 224
由2k?????3???x??2k??,k?Z,知2k???x?2k??,k?Z, 24244∴的单调递增区间是, ……(6分)
(2) ∵为偶函数, ∴对任意有
∴sin(?x??)?cos(?x??)?sin(x??)?cos(x??)……(8分) ∴2sinx?cos??2sinx?sin??0,∴ 22sinx?sin(??∵不恒为0, ∴ 又, ∴或.……(12分)
?)?0,……(10分) 4
2024-2024年高三数学第二轮复习函数性质学案
